Текст статьи Бендукидзе А. Д., Сулаквелидзе А. К. Вычисление сумм // Квант. — 1970. — № 9. — С. 37—40.
Вычисление сумм — один из важнейших и интереснейших вопросов математики. Существуют разные методы вычисления сумм. В статье рассказывается о двух из них.
1. В математике и её многочисленных приложениях для сокращённой записи суммы употребляется специальный знак. Это
Пусть дана сумма вида
Нетрудно проверить следующие свойства знака
Проверим, к примеру, второе свойство.
По определению
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^nca_k=ca_1+ca_2+\ldots+ca_n,
$$
поэтому, согласно известному свойству суммы, имеем:
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^nca_k=c(a_1+a_2+\ldots+a_n).
$$
Но выражение в скобках есть не что иное, как
Аналогично проверяются остальные два свойства.
2. Рассмотрим вопрос о вычислении сумм вида
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^nf(k)=f(1)+f(2)+\ldots+f(n),\tag1
$$
где
Эту сумму легко вычислить, если удастся найти такую функцию
В самом деле, полагая в этом равенстве последовательно
Складывая эти равенства, приходим к следующей формуле: $$ \textstyle\sum\limits_{k=1}^n f(k)=F(n+1)-F(1).\tag3 $$
Таким образом, если функция
Проиллюстрируем формулу (3) геометрически.
На рисунке 1 нам нужно найти сумму (1), обозначенную просто через
Пример 1. Вычислим сумму
$$
\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}\ldots+\dfrac1{n(n+1)},
$$
т. е.
Применяя формулу (3), легко получим $$ \sum_{k=1}^n \dfrac1{k(k+1)}=1-\dfrac1{n+1}=\dfrac{n}{n+1}. $$
Пример 2. Найдём сумму членов следующей геометрической
прогрессии:
Получили известную формулу.
Пример 3. Вычислим сумму $$ \textstyle \sum\limits_{k=1}^n\sin kx\quad (x\ne2\pi n). $$ Нетрудно проверить, что $$ \sin kx=\dfrac{\cos{\left(k-\dfrac12\right)}x-\cos{\left(k+\dfrac12\right)}x} {2\sin\dfrac x2}, $$ т. е. $$ \sin kx=F(k+1)-F(k), $$ где $$ F(k)=-\dfrac{\cos{\left(k-\dfrac12\right)}x}{2\sin\dfrac x2}. $$ Теперь на основании формулы (3) после несложных преобразований получим $$ \sum_{k=1}^n\sin kx=\dfrac{\sin\dfrac{(n+1)x}2\sin\dfrac{nx}2} {2\sin\dfrac x2}. $$
Читатель сам убедился, что формула (3) даёт эффективный способ вычисления
суммы (1). Главное — нахождение функции
3. Пусть теперь заданы две конечные последовательности
чисел
$$
u_1,~u_2,~\ldots,~u_n,
$$
и $$
v_1,~v_2,~\ldots,~v_n\tag4
$$
и требуется вычислить сумму
Здесь часто бывает полезным одно преобразование, которое было указано
замечательным норвежским математиком Абелем. Именно, пусть
Геометрическая интерпретация этого способа дана на рисунке 2. Каждый член
вида
Пример 4. Вычислим сумму
Пример 5. Вычислим следующую сумму:
4. Для искушённого читателя, знакомого с понятием интеграла, заметим, что формулы (3) и (5) для конечных сумм являются аналогами известных формул интегрального исчисления.
Так как существуют функции, от которых интегралы (неопределённые) не берутся, то не всегда существует искомая функция
Задачи
- Вычислить следующие суммы:
$\sum\limits_{k=1}^{100}\dfrac1{(2k-1)(2k+1)}$; $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{(3k-1)(3k+2)}$; $\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$; $\dfrac1{1\cdot2\cdot3}+\dfrac1{2\cdot3\cdot4}+\dfrac1{3\cdot4\cdot5}+ \ldots+\dfrac1{n(n+1)(n+2)}$; $\sum\limits_{k=1}^n\cos kx$; $\sum\limits_{k=1}^n\cos{\left(k+\dfrac12\right)}x$; $\sin1^\circ\left(\dfrac1{\sin1^\circ\sin2^\circ}+\dfrac1{\sin 2^\circ\sin3^\circ}+\ldots+\dfrac1{\sin89^\circ\sin90^\circ}\right)$.
- Вычислить суммы:
$\sum\limits_{k=1}^nkq^k$; $\sum\limits_{k=1}^na_kb_k$, где$\{a_k\}$ — арифметическая прогрессия, а$\{b_k\}$ — геометрическая.
- Используя преобразования Абеля, вычислить следующие суммы:
$\sum\limits_{k=1}^nk$; $\sum\limits_{k=1}^nk^4$; $\sum\limits_{k=1}^nk\sin kx$; $\sum\limits_{k=1}^nk\cos kx$.
Ответы, указания, решения
$\dfrac{100}{201}$; $F(k)=-\dfrac1{2(2k-1)}$; $\dfrac{3n+1}{3(3n+2)}$; $F(k)=-\dfrac1{3(3k-1)}$; $\dfrac{n^2+2n}{(n+1)^2}$; $F(k)=-\dfrac1{k^2}$; $\dfrac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}$; воспользуемся равенствами $$ \dfrac1{k(k+1)(k+2)}=\dfrac1{k+1}\left(\dfrac1{2k}-\dfrac1{2(k+2)}\right)= \left(\dfrac1{2k}-\dfrac1{2(k+1)}\right)- \left(\dfrac1{2(k+1)}-\dfrac1{2(k+2)}\right), $$ отсюда $$ F(k)=-\left(\dfrac1{2k}-\dfrac1{2(k+1)}\right); $$$\dfrac{\sin{\left(n+\dfrac12\right)}x}{2\sin\dfrac x2}-\dfrac12$, $x\ne2\pi n$; воспользуемся равенством $$ \cos kx\sin\dfrac x2=\dfrac12\left[\sin{\left(k+\dfrac12\right)}x- \sin{\left(k-\dfrac12\right)}x\right], $$ отсюда $$ F(k)=\dfrac{\sin{\left(k-\dfrac12\right)}x}{2\sin\dfrac x2}; $$$\dfrac{\sin nx}{2\sin\dfrac x2}$, $x\ne2\pi n$; $F(k)=\dfrac{\sin kx}{2\sin\dfrac x2}$; $\ctg1^\circ$; $F(k)=-\dfrac{\cos kx}{\sin kx}$; используется равенство $$ \dfrac{\cos kx}{\sin kx}-\dfrac{\cos{(k+1)x}}{\sin{(k+1)x}}= \dfrac{\sin{(k+1)}x\cos kx-\sin kx\cos{(k+1)x}}{\sin kx\sin{(k+1)x}}= \dfrac{\sin x}{\sin kx\sin{(k+1)x}}. $$
- Как в примере 5, получаем $$ \sum_{k=1}^nkq^k=\dfrac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2}\quad(q\ne1), $$
- Пусть
$d$ — разность арифметической прогрессии,$q$ — знаменатель геометрической. Воспользовавшись свойствами знака$\sum$, напишем: $$ \begin{gathered} \sum_{k=1}^n[a_1+(k-1)d](b_1q^{k-1})= \sum_{k=1}^na_1b_1q^{k-1}+\sum_{k=1}^nb_1d(k-1)q^{k-1}=\\ =a_1b_1\sum_{k=1}^nq^{k-1}+b_1d\sum_{k=1}^n(k-1)q^{k-1}= a_1b_1\dfrac{q^n-1}{q-1}+b_1d\dfrac{(n-1)q^{n-1}-nq^n+q}{(q-1)^2}. \end{gathered} $$$\Big($ заметим, что$\sum\limits_{k=1}^nq^{k-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k\Big)$.
-
$\dfrac{n^2(n+1)^2}4$; $\dfrac1{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$; $\dfrac{\sin{(n+1)x}}{4\sin^2\dfrac x2}- \dfrac{(n+1)\cos\dfrac{2n+1}2x}{2\sin\dfrac x2}$, $x\ne2\pi k$; $\dfrac{(n+1)\sin\dfrac{2n+1}2x}{2\sin\dfrac x2}- \dfrac{1-\cos{(n+1)x}}{4\sin^2\dfrac x2}$, $x\ne2\pi k$.