Изображения страниц
Текст статьи Откуда взялись равенства? // Квант. — 1970. — № 8. — С. 9.
Попробуйте выяснить, на чём основаны числовые равенства: $$ \begin{gather*} \dfrac{41^3+25^3}{41^3+16^3}=\dfrac{41+25}{41+16},\\ \dfrac{73^3+37^3}{73^3+36^3}=\dfrac{73+37}{73+36},\\ \dfrac{81^3+18^3}{81^3+63^3}=\dfrac{81+18}{81+63}. \end{gather*} $$
Не сможете ли вы сами составить такое равенство с другими числами?
Ответы, указания, решения
Все равенства основаны на формуле $$ \dfrac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\dfrac{a+b}{a+(a-b)}. $$ Действительно: $$ \begin{gather*} \dfrac{a^3+b^3}{a^3+(a-b)^3}=\dfrac{a+b}{a+(a-b)}\cdot \dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2-a(a-b)+(a-b)^2}=\\ =\dfrac{a+b}{a+(a-b)}\cdot\dfrac{a^2-ab-b^2}{a^2-a^2+ab+a^2-2ab+b^2}= \dfrac{a+b}{a+(a-b)}. \end{gather*} $$