Бесконечное произведениеБесконечное произведение // Квант. — 1970. — № 8. — С. 9.‍‍

Известно, что $x\lt1$‍.‍ Попробуйте выяснить, чему равно бесконечное произведение $$ (1+x+x^2+\ldots+x^9) \cdot (1+x^{10}+x^{20}+\ldots+x^{90}) \cdot (1+x^{100}+x^{200}+\ldots+x^{900}) \cdot \ldots $$

mpanov: На самом деле ограничение должно быть $|x|\lt1$‍.‍

\extra

Сначала убедимся, что получается геометрическая прогрессия: $$ \begin{gather*} (1+x+x^2+\ldots+x^9)(1+x^{10}+x^{20}+\ldots+x^{90}) (1+x^{100}+x^{200}+\ldots+x^{900})\ldots=\\ =1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots \end{gather*} $$

Действительно, $x^{\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}}$‍‍ (где $\overline{a_na_{n-1}\ldots a_0}=a_0+10a_1+\ldots+10^na_n$‍‍ — десятичная запись любого неотрицательного целого числа) обязательно должно появиться в процессе перемножения скобок и притом один раз ($a_0$‍‍ получаем из первой скобки, $a_1$‍‍ — из второй и т. д).

Отсюда искомое произведение равно $$ 1+x+x^2+\ldots=\dfrac1{1-x}. $$