Андреев Е. М.

Невписываемые многогранникиАндреев Е. М. Невписываемые многогранники // Квант. — 1970. — № 8. — С. 2‍—‍9.‍‍

Рассмотрим куб, одна из вершин которого срезана плоскостью (рис. 1). Можно ли полученный многогранник вписать в сферу? Зависит ли ответ на этот вопрос от того, какой именно плоскостью срезана вершина? С решением этой, а также подобных задач мы и хотим познакомить читателя.

Предположим, что нам дан выпуклый ограниченный многогранник, т. е. тело в пространстве, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками — гранями — и лежащее по одну сторону от плоскости каждой из своих граней. Требуется выяснить, можно ли данный многогранник вписать в сферу.

Обозначим весь многогранник буквой $M$‍,‍ занумеруем по отдельности его грани, рёбра и вершины и будем обозначать $i$‍‍-ю грань через $\textit{Г}_i$‍,‍ $i$‍‍-е ребро через $\textit{Р}_i$‍‍ и $i$‍‍-ю вершину через $\textit{В}_i$‍.‍ Принято говорить, что две грани смежные, если у них имеется общее ребро, а две вершины соседние, если они суть концы одного и того же ребра.

Чтобы решить поставленную задачу, надо прежде всего проверить, являются ли все многоугольники $\textit{Г}_i$‍‍ вписанными. Затем для каждого ребра $\textit{Р}_k$‍‍ рассмотрим пару граней $\textit{Г}_i$‍‍ и $\textit{Г}_j$‍,‍ граничащих по этому ребру, и обозначим через $r_k$‍,‍ расстояние от точки пересечения перпендикуляров, восставленных из центров окружностей, описанных около $\textit{Г}_i$‍‍ и $\textit{Г}_j$‍,‍ до одной из вершин многоугольника $\textit{Г}_i$‍‍ или $\textit{Г}_j$‍;‍ величина $r_k$‍,‍ очевидно, не зависит от выбора вершины (рис. 2).

Задача 1. Доказать, что многогранник $M$‍‍ вписанный тогда и только тогда, когда все многоугольники $\textit{Г}_i$‍‍ вписанные, и $r_1=r_2=\ldots=r_m$‍,‍ где $m$‍‍ — число рёбер многогранника.

Этот или аналогичный способ проверки вписанности $M$‍‍ был известен очень давно, но вдруг в начале ХХ века обнаружилось, что в целом ряде случаев можно доказать, что $M$‍‍ вписанным не является, не производя почти никаких вычислений.

Первым это заметил немецкий математик Э. Штейниц. В 1927 году вышла в свет его статья, в которой была доказана следующая теорема.

Теорема Штейница. Пусть все вершины многогранника $M$‍‍ можно разбить на чёрные и белые так, чтобы

1. Никакие две чёрные вершины не были соседними.
2. Число чёрных вершин было больше, чем число белых.

Тогда многогранник $M$‍‍ нельзя вписать в сферу.

Прежде чем перейти к доказательству теоремы, сделаем некоторые замечания. Пусть у нас есть фиксированная сфера и некоторый двугранный угол, ребро которого эту сферу пересекает. Возьмём точку пересечения ребра со сферой и проведём через неё касательную плоскость (рис. 3). Двугранный угол высекает в этой плоскости линейный угол. Этот угол мы назовём линейным углом двугранного угла относительно данной сферы или просто относительным углом дву гранного угла. Очевидно, что относительный угол не зависит от выбора одной из двух точек пересечения ребра со сферой. Если же ребро касается сферы, то удобно положить величину относительного угла равной нулю.

Рассмотрим теперь выпуклый многогранный угол, все рёбра которого пересекают данную сферу. Относительные углы его двугранных углов назовём относительными углами данного многогранного угла. Пусть у многогранного угла $n$‍‍ граней, а его вершина лежит на сфере. Тогда сумма его относительных углов равна $\pi(n-2)$‍.‍ В самом деле, проведём через вершину многогранного угла касательную плоскость, а затем проведём плоскость, ей параллельную, секущую и сферу, и все рёбра многогранного угла (это возможно, так как все рёбра угла пересекают сферу). Многогранный угол высекает в этой последней плоскости многоугольник, углы которого равны относительным углам, что следует из теоремы об углах с попарно параллельными сторонами (рис. 4). Аналогичное равенство для суммы углов многоугольника хорошо известно.

Перейдём к доказательству самой теоремы. Предположим, что многогранник $M$‍‍ вписан в сферу. Обозначим относительный угол двугранного угла с ребром $\textit{Р}_i$‍‍ через $\gamma_i$‍.‍ Пусть $n_k$‍‍ — число рёбер, сходящихся в вершине $\textit{В}_k$‍.‍

Из доказанного выше следует, что сумма относительных углов при вершине $\textit{В}_k$‍‍ равна $\pi(n_k-2)$‍.‍ Положим $\beta_i=\pi-\gamma_i$‍,‍ угол $\beta_o$‍‍ — внешний относительный угол, тогда $\gamma_i=\pi-\beta_i$‍.‍ Если сумма внутренних относительных углов равна $\pi(n_k-2)$‍,‍ то сумма внешних относительных углов равна $2\pi$‍.‍ Итак, если в вершине $\textit{В}_k$‍‍ сходятся рёбра $\textit{Р}_i$‍,‍ $\textit{Р}_j$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $\textit{Р}_l$‍,‍ то $$ \beta_i+\beta_j+\ldots+\beta_l=2\pi. $$ Выпишем аналогичные равенства для каждой вершины многогранника, потом умножим равенства, соответствующие чёрным вершинам, на $-1$‍‍ и сложим их все. Чёрных вершин больше, следовательно, в правой части будет стоять отрицательное число. Рассмотрим сумму, стоящую в левой части. Если $i$‍‍-е ребро идёт из чёрной вершины в белую, то число $\beta_i$‍‍ входит в левую часть один раз со знаком «$+$‍‍» и один раз со знаком «$-$‍‍», в сумме 0; если — из белой в белую, то $\beta_i$‍‍ оба раза входит с «$+$‍‍». Рёбер с двумя чёрными концами не бывает. Итак, сумма чисел в правой части не меньше нуля и мы пришли к противоречию, предположив, что $M$‍‍ — вписанный.

Прежде чем переходить к анализу полученного результата, т. е. прежде чем выяснять, чем замечательна и что означает теорема Штейница, надо показать, что теорема содержательна, т. е. что существуют многогранники, удовлетворяющие её условиям. Возьмём октаэдр (рис. 5, а) и на каждой его грани, как на основании, построим правильную треугольную пирамиду, причём высоту пирамиды возьмём такой маленькой, чтобы двугранные углы при основании были меньше $25^\circ$‍.‍ Рассмотрим многогранник $M$‍,‍ склеенный из исходного октаэдра и восьми вновь построенных пирамид (рис. 5, б).

Задача 2. Доказать, что мноеогранник $M$‍‍ выпуклый.

Объявим белыми те его вершины, которые были вершинами исходного октаэдра, а чёрными — все остальные. Ясно, что условия теоремы Штейница выполняются. Итак, мы построили пример многогранника, которыи нельзя вписать в сферу, в чём можно убедиться, не зная ни размеров, ни углов многогранника, но зная только его строение.

Уточним, что значит строение. Начнём с плоскости. Чтобы описать строение выпуклого многоугольника, надо сказать, сколько у него вершин, тогда у него столько же и сторон; каждая сторона смежна с двумя другими, и в каждой вершине сходятся две стороны.

Иное дело в пространстве: у додекаэдра (рис. 6, а) и у десятиугольной призмы (рис. 6, б) одинаковое число граней — 12, одинаковое число рёбер — 30, одинаковое число вершин — 20, а строение совсем разное. В пространстве, чтобы описать строение многогранника, надо сказать не только сколько у него рёбер, граней и вершин, но и как грани склеены между собой, т. е. какие грани являются смежными, какие вершины являются соседними и какие грани сходятся в каждой из вершин. Два многогранника имеют одинаковое строение, если у них одинаковое число вершин, рёбер и граней и они одинаково из этих элементов составлены.

Назовём выпуклый многогранник $M$‍‍ такой, что ни сам он, ни любой другой многогранник, имеющий то же строение, вписанным не является, абсолютно невписываемым. Из теоремы Штейница следует, что любой многогранник, удовлетворяющий её условиям I и II, является не только невписываемым, но и абсолютно невписываемым. Построенный выше многогранник (рис. 5, б) представляет собой пример абсолютно невписываемого многогранника. Ничего подобного на плоскости не бывает: для всякого $n\ge3$‍‍ найдётся вписанный $n$‍‍-угольник. Поэтому до Штейница все считали, что не существует абсолютно невписываемых многогранников. Существовали даже очень правдоподобные, но чуть-чуть не законченные доказательства этого утверждения. Теперь появилась новая проблема: найти все абсолютно невписываемые многогранники, точнее, найти необходимые и достаточные условия того, чтобы многогранник был абсолютно невписываемым.

У нас есть условие Штейница — достаточное условие абсолютной невписываемости. Может быть оно является необходимым? Нет. Это вытекает из следующих задач.

Задача 3. Пусть все вершины многогранника $M$‍‍ можно разбить на чёрные и белые так, чтобы

1. Число белых было не больше числа чёрных.
2. Никакие две чёрные вершины не были бы соседними и, напротив, нашлись бы две соседние белые вершины.

Доказать, что многогранник $M$‍‍ нельзя вписать в сферу.

Задача 4. Построить пример многогранника, удовлетворяющего условию задачи 3 и не удовлетворяющего условиям теоремы Штейница.

Важно отметить и другое: если в каждой вершине многогранника M сходится одно и то же число, скажем, $k$‍‍ граней, то $M$‍‍ не удовлетворяет ни условию теоремы Штейница, ни условию задачи 3. Предположим противное, и пусть $m$‍‍ — число всех рёбер многогранника, $p$‍‍ — число его чёрных вершин и $q$‍‍ — белых, $p\ge q$‍,‍ а в теореме Штейница это неравенство строгое. Тогда $2m=k(p+q)$‍,‍ у каждого ребра два конца, в каждой вершине сходятся $k$‍‍ рёбер. Кроме того, на каждом ребре лежит белая вершина, т. е. $m\le kq$‍,‍ и в случае задачи 3 это неравенство строгое. С другой стороны, $p+q\ge2q$‍,‍ и в условиях теоремы Штейница это неравенство строгое. Итак, получаем неравенства $$ kq\le m\le kq. $$

Если $M$‍‍ удовлетворяет условию теоремы Штейница или условию задачи 3, то одно из этих неравенств будет строгим, что невозможно.

Остановимся теперь на многогранниках, в каждой вершине которых сходятся три грани: эти многогранники в некотором смысле самые типичные, но мы о них ничего не знаем с точки зрения их вписываемости.

Рассмотрим три попарно пересекающиеся плоскости; они либо образуют трёхгранный угол, либо линии их пересечения параллельны; в этом случае скажем, что они образуют бесконечный трёхгранный угол. Фиксируем некоторую сферу. Пусть все рёбра трёхгранного угла её пересекают, а вершина этой сфере не принадлежит, а может быть, вершины и вовсе нет. Оказывается, что если вершина угла лежит внутри шара, но не на сфере, то сумма относительных углов больше $\pi$‍,‍ а если лежит вне шара или угол бесконечный, то меньше $\pi$‍.‍ Действительно, рассмотрим окружности, высекаемые гранями трёхгранного угла на сфере, — углы между этими окружностями и есть относительные углы трёхгранного угла. Возьмём точку на сфере, не принадлежащую ни одной из этих окружностей, и стереографически спроектируем окружности из этой точки на плоскость. Возможны три случая (рис. 7, а, б, в): в первом — вершина лежит вне сферы, во втором — на сфере, в третьем — внутри сферы. Углы сохраняются при стереографической проекции, значит, углы $\alpha$‍,‍ $\beta$‍,‍ $\gamma$‍‍ равны исходным относительным углам. В первом случае $\alpha+\beta+\gamma$‍‍ меньше суммы углов $\triangle ABC$‍,‍ a в третьем — больше. Утверждение доказано.

Пусть все вершины многогранника $M$‍‍ можно разделить на чёрные и белые так, чтобы две вершины одного цвета не были соседними.

Задача 5. Пусть во всех вершинах многогранника $m$‍‍ сходится одинаковое число граней и все вершины разбиты на чёрные и белые так, чтобы никакие две вершины одного цвета соседними не оказались. Доказать, что число чёрных вершин равно числу белых.

Задача 6. Доказать, что вершины многогранника можно разбить на чёрные и белые так, чтобы никакие две вершины одного цвета не были соседними тогда и только тогда, когда у каждой грани многогранника чётное число сторон.

Указание. Для доказательства достаточно взять любую вершину и объявить её белой, соседние с ней — чёрными и т. д. Нужно доказать, что при этом не возникает противоречий, т. е. что во всякой замкнутой ломаной, составленной из рёбер многогранника, чётное число звеньев.

Вернёмся к многограннику $M$‍‍ с раскрашенными вершинами. Так как у $M$‍‍ в каждой вершине сходятся три грани, то число белых вершин равно числу чёрных вершин. Выделим у него некоторые из чёрных вершин (одну, две или все) и отрежем их с помощью плоскостей. Каждую вершину отрежем одной плоскостью, пересекающей лишь те рёбра, которые из этой вершины исходят, и не содержащей никаких вершин $M$‍.‍ Получившийся многогранник обозначим $M'$‍.‍ Он отличается от $M$‍‍ тем, что у него вместо некоторых чёрных вершин — треугольные грани. Докажем, что многогранник $M'$‍‍ абсолютно невписываемый.

Предположим, что многогранник $M'$‍‍ или другой многогранник, имеющий то же строение, вписан в сферу. Выделим три грани, которые соответствуют трём граням многогранника $M$‍,‍ сходящимся в одной обрезанной вершине. Эти три грани попарно смежные, вершина обрезанного трёхгранного угла лежит заведомо вне сферы, так как многогранник вписанный, поэтому сумма относительных углов при них меньше $\pi$‍.‍ Припишем каждому ребру многогранника $M$‍‍ относительный угол при соответствующем ребре многогранника $M'$‍.‍ Тогда сумма этих приписанных углов при всех белых и при всех не выделенных чёрных вершинах равна $\pi$‍,‍ а при выделенных чёрных вершинах строго меньше $\pi$‍.‍ Как и при доказательстве теоремы Штейница, выпишем эти равенства и неравенства, суммы, соответствующие белым вершинам, умножим на $-1$‍‍ и сложим их. В результате должно получиться строгое неравенство. Однако в левой части мы получим нуль, ибо каждый из приписанных углов один раз входит в сумму при белой вершине, а один раз — при чёрной. В правой же части мы тоже получим нуль, так как число белых вершин равно числу чёрных. Полученное противоречие ($0\lt0$‍)‍ и доказывает наше утверждение.

Точно такое же рассуждение можно провести, если отмеченные вершины срезать не одной, а несколькими плоскостями, лишь бы сходящиеся в них грани оставались попарно смежными и не сходились в одной вершине.

Этим способом можно получать и другие достаточные условия. Сейчас стали известны и некоторые необходимые условия того, чтобы многогранник был абсолютно невписываемым, но в целом проблема до сих пор не решена.

Метод относительных углов позволяет решать и другие интересные задачи.

Задача 7. Пусть в каждой вершине многогранника $M$‍‍ сходятся три грани, а у каждой его грани чётное число сторон. Доказать, что если все, кроме одной, вершины многогранника $M$‍‍ лежат на сфере, то многогранник $M$‍‍ вписанный.

Указание. Воспользоваться задачей 6. Не пропускать такой неприятной возможности: рёбра, исходящие из вершины, не лежащей на сфере, касаются сферы.

Аналогичная, но более сложная.

Задача 8. Пусть все вершины многогранника $M$‍‍ разбиты на чёрные и белые, как это описано в задаче 5, и число чёрных вершин равно числу белых. Доказать, что если все, кроме одной, вершины многогранника $M$‍‍ лежат на сфере, то многогранник $M$‍‍ вписанный.

Таким образом, если вершины можно разбить на чёрные и белые, как это описано в задаче 5, то либо многогранник абсолютно невписываемый, либо удовлетворяет задаче 8, т. е. из того, что на сфере лежат все его вершины, кроме одной, следует, что он вписанный.

Простейшим примером абсолютно невписываемого многогранника является куб с одной срезанной вершиной (см. рис. 1).

В заключение остаётся сознаться, что Штейниц доказал отнюдь не ту теорему, которая называется его именем, но двойственное к ней утверждение, которое мы сформулируем в виде задачи.

Задача 9. Пусть все грани многогранника $M$‍‍ можно разбить на чёрные и белые так, чтобы

1. Число чёрных граней было больше, чем число белых.
2. Никакие две чёрные грани смежными не являются.

Доказать, что многогранник $M$‍‍ нельзя описать вокруг сферы.

На рисунке 8 изображён один из самых простых примеров абсолютно неописываемого многогранника — куб, у которого срезаны все вершины.