Задачи для 5 классаЗадачи для 5 класса // Квант. — 1970. — № 7. — С. 59‍—‍61.‍‍

В этом номере «Кванта» мы заканчиваем публикацию самых интересных задач из нового пробного учебника для 5 класса.

1233. Из 8 монет одна фальшивая (более легкая). Как определить фальшивую монету двумя взвешиваниями на весах с двумя чашечками без гирь?

1234. Среди 20 монет имеется одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. С помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь определить фальшивую монету и установите — легче она или тяжелее настоящих.

1236. У меня есть только стенные часы, которые остановились. Я отправляюсь к своему знакомому, часы которого идут верно, нахожусь у него некоторое время и, возвратившись домой, ставлю свои часы верно. Каким образом мне это удалось сделать, если предварительно мне не было известно, сколько времени занимает дорога?

1237. Для нумерации страниц словаря потребовалось 6869 цифр. Сколько страниц имел словарь?

1238. Сколько делителей у числа $3^6 \cdot 5^4$‍?‍

1241. При делении числа $N$‍‍ на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 в остатке получится 2. Какой остаток получится при делении числа $N$‍‍ на 6?

1245. Если от задуманного трехзначного числа отнять 7, то оно разделится на 7, если же от него отнять 8, то оно разделится на 8, и если отнять 9, то оно разделится на 9. Какое число было задумано?

1246. Какой цифрой оканчивается число $66^{66}$‍?‍ $33^{33}$‍?‍ $7^7$‍?‍

1248. Докажите, что число $7^{777} + 1$‍‍ не делится нацело на 5.

1249. Докажите, что сумма двух любых последовательных нечетных чисел делится нацело на 4.

1250. Некоторое шестизначное число начинается цифрой 7. Откинув эту цифру слева и приписав ее справа, получим число, в 5 раз меньше первоначального. Найти первоначальное число.

1251. Если между цифрами двузначного числа вписать нуль, то полученное трехзначное число будет в 9 раз больше первоначального. Найти двузначное число.

1252. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвертой, вторая с пятой и третья — с шестой. Доказать, что это число делится на 7, 11 и 13.

1254. К числу 43 справа и слева припишите по одной цифре так, чтобы число делилось на 45.

1259. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом? А сумма трех?

1260. Ученики $A$‍,‍ $B$‍‍ и $C$‍‍ составлялись в беге на 100 м. Когда $A$‍‍ добежал до конца, $B$‍‍ отставал от него на 10 м. Когда $B$‍‍ добежал до конца, $C$‍‍ отставал от него на 10 м. На сколько метров отставал $C$‍‍ от $A$‍,‍ когда $A$‍‍ закончил бег?

1262. Покажите, что любую сумму денег можно уплатить, если продавец и покупатель имеют лишь трехкопеечные и пятикопеечные монеты.

1265. Отец поручил сыну измерить длину двора шагами. Это было зимой. Для проверки отец измерил ту же длину двора своими шагами. Отец шагал с того же места, что и сын, и шел в том же направлении, так что в некоторых случаях следы отца и сына совпадали. Всего следов на счету получилось 61. Чему равна длина двора, если шаг сына 0,54 м, а шаг отца 0,72 м?

1267. Докажите теоремы:

1. Если произведение трёх целых чисел — число нечетное, то и их сумма — число нечетное;
2. Если сумма двух целых чисел — число нечетное, то их произведение — число четное.

1268. Ребра прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральными числами, а его объем — простым числом, большим 2. Докажите, что сумма длин двух неравных ребер — число четное.

1269. Может ли существовать прямоугольный параллелепипед, длины ребер которого — натуральные числа, а площадь поверхности — простое число?

1272. Разделите 7 яблок на 12 человек поровну, не разрезая ни одного яблока на 12 и большее число равных частей.

1273. Сократите дроби: $$\frac{37\, 373\, 737}{81 \, 818 \, 181};\quad \frac{609 \, 609 \, 609}{205 \, 205 \, 205}.$$

1275. Найдите значение выражения: $$\frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 4} + \frac{1}{5\cdot 6} + \ldots + \frac{1}{19\cdot 20}.$$

1276. Докажите, что $$\begin{gathered} 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots +\frac{1}{199}-\frac{1}{200}=\\ = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \frac{1}{103} + \ldots + \frac{1}{200}.\end{gathered}$$

1277. Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на каждую из дробей $\frac{28}{297}$‍‍ и $\frac{35}{396}$‍‍ получаются целые числа.

1278. Поезд проходит данное расстояние за 10 час. Если бы он увеличил скорость на 10 км/час, он ехал бы 8 час. Найдите скорость и расстояние.

1279. Автомобиль половину пути ехал со скоростью 50 км/час, а вторую половину со скоростью 30 км/час. С какой средней скоростью проехал автомобиль весь путь?

1280. От Горького до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток дойдут плоты от Горького до Астрахани?

1281. Я отпил $\frac{1}{6}$‍‍ чашечки черного кофе и долил его молоком. Затем я выпил $\frac{1}{3}$‍‍ чашечки и снова долил ее молоком. Потом я выпил полчашечки и опять долил ее молоком. Наконец, я выпил полную чашечку. Чего я больше выпил кофе или молока?

1282. Повар варил суп и положил в него мало соли. Пришлось досаливать готовый суп. На следующий раз повар учел эту ошибку и в то же количество супа положил в 2 раза больше соли, чем в первый раз. Этого тоже оказалось мало, но досаливать пришлось уже вдвое меньшим количеством соли. Какую часть нужного количества соли положил повар в суп в первый раз?

1291. Я задумал трехзначное число. Если из цифр этого числа составить всевозможные двузначные числа и затем их сложить, то треть суммы и будет равна задуманному числу. Найдите задуманное число.

1292. Мама купила яблоки для своих детей Вани, Нины и Миши. Дети должны были поделить яблоки между собой поровну. Ваня пришел домой первым, сосчитал яблоки, взял третью часть и ушел. Потом пришла Нина и, полагая, что пришла первой, сосчитала оставшиеся яблоки, взяла свою долю и также ушла. Наконец, пришел Миша и взял себе третью часть оставшихся яблок. После всего этого осталось 8 яблок. Сколько яблок купила мама для детей?

1293. Двум братьям необходимо было быть на железнодорожной станции, которая находится на расстоянии 4 км от их дома. Чтобы не опоздать к отходу поезда, оставалась лишь одна возможность — ехать на велосипедах. Но у старшего брата велосипед оказался неисправным. Если идти пешком, то опоздаешь на 10 мин. Однако оба брата попали на станцию одновременно и за 10 мин до отхода поезда. Скажите, как они поступили, если ходьба пешком втрое медленнее езды на велосипеде и если ехать на велосипеде вдвоем нельзя?

1294. Какое число обладает таким свойством, что если к нему прибавить произвольное число, умножить полученную сумму на это же произвольное число, затем из произведения вычесть то же самое произвольное число и на него же разделить полученную разность, то в результате получится это же самое произвольное взятое число?