Однажды учитель задал ученикам 10-го класса на дом следующую задачу:
Доказать, пользуясь методом математической индукции, что при любом натуральном $n$
верно неравенство
$$
P_n = \dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot\ldots \cdot 2n} \lt \dfrac{1}{\sqrt{n + 1}}.
$$
Коля В. нашёл дома следующее решение:
a) При $n = 1$ неравенство верно, так как $$P_1 = \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{\sqrt{2}}.$$
б) Покажем, что из условия
$P_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ вытекает справедливость неравенства
$P_{n+1} \lt \dfrac{1}{\sqrt{n+2}}$. Для этого достаточно показать, что $$
\dfrac{P_{n+1}}{P_n} \lt \dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}},
$$
или $$
\dfrac{2n+1}{2n+2} \lt \sqrt{\dfrac{n+1}{n+2}},
$$
или $$
(2n+1)^2 (n+2) \lt 4(n+1)^3,
$$
или $$
4n^3 + 12n^2 + 9n + 2 \lt 4n^3 + 12n^2 + 12n + 4,
$$
или $$
0 \lt 3n+2,
$$
что, очевидно, верно. Таким образом, справедливость доказываемого неравенства
следует из принципа математической индукции.
Однако, рассказывая в школе это решение, Коля забыл поставить в знаменателе единицу
и стал доказывать более «грубое» неравенство:
$$P_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{n}}.$$
Вот что у него получилось:
a) При $n= 1$ неравенство верно, так как $$
P_1 = \dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{1}
$$
б) Покажем, что из условия $P_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ следует
$P_{n+1} \lt \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$. Для этого достаточно показать, что $$
\dfrac{P_{n+1}}{P_n} \lt \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}},$$
или $$
\dfrac{2n+1}{2n+2} \lt \sqrt{\dfrac{n}{n+1}},
$$
или $$
(2n+1)^2 (n+1) \lt 4 (n+1)^2 n,
$$
или $$
4n^3 + 8n^2 + 5n + 1 \lt 4n^3 + 8n^2 + 4n,
$$
или $$
n+1 \lt 0.
$$
Получился абсурд. Более точное неравенство оказалось и более лёгким для доказательства.
Почему?
Разобравшимся в этом вопросе предлагаем доказать два неравенства:
1. $P_n \lt \dfrac{1}{\sqrt{3{,}1 n}}$.
Интересно, что в этом неравенстве коэффициент $3{,}1$ нельзя заменить на $3{,}2$.
Самый большой коэффициент, при котором оно остаётся верным,
равен $\pi$ (отношение длины окружности к диаметру).
2. $\dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{3^3} + \ldots + \dfrac{1}{n^3} \lt \dfrac{1}{4}$.
