Текст статьи Болтянский В. Г., Розов Н. Х. Ленинская теория познания и математические понятия // Квант. — 1970. — № 7. — С. 2—9.
Познание окружающей нас реальной действительности, объективных законов природы и общества всегда было и остаётся составной и неотъемлемой частью человеческой деятельности, целью и задачей различных наук. Изучением же сложного и многогранного процесса познания, выявлением объективных законов происхождения и формирования человеческих знаний о материальном мире занимается теория познания — один из разделов философской науки.
Творчески развивая диалектикоматериалистическую теорию познания, В. И. Ленин обогатил её новыми, основополагающими положениями, с исключительной глубиной и ясностью разработал необычайно широкий круг связанных с ней вопросов. Это и позволяет нам с полным основанием говорить о ленинской теории познания.
Нас окружает материальный мир, движение и развитие которого подчиняется объективным, существующим независимо от человека законам. Свойства и взаимные связи объектов материального мира прямо или косвенно воспринимаются людьми, их органами чувств, отображаются в человеческом сознании. Живое созерцание, непосредственная чувственная связь человека с объективной реальностью в процессе практической деятельности, являясь исходным пунктом познания, позволяет нам составить представление об окружающей действительности.
Накопленные человеком данные опыта обрабатываются и обобщаются его абстрактно-логическим мышлением. Именно мышление позволяет человеку, отталкиваясь от фактов, познавать то, что недоступно восприятию с помощью органов чувств, даёт возможность проникать в сущность предметов и явлений, выявлять связи между ними, открывать объективные законы материального мира, воспроизводить реальную действительность.
Естественно, возникает вопрос о том, соответствует ли воспроизведённая мышлением картина реальной действительности самой этой действительности, отражают ли (и насколько правильно) наши представления объективное положение вещей. Только на практике, только в сравнении ожидающихся результатов с тем, что действительно произошло, человек может оценить правильность и ценность своих знаний. Именно практика служит критерием истины той или иной идеи, гипотезы, теории.
В. И. Ленину принадлежит гениальное определение процесса познания: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности».
В окружающем нас мире нет вещей непознаваемых, принципиально недоступных человеческому разуму. Однако познание предметов, явлений во всей их полноте может быть дано только бесконечной суммой общих понятий, законов и т. п. И овладение всей этой суммой знаний всё время приблизительно, т. е. исчерпывающее познание мира возможно, говоря математическим языком, лишь в пределе. На каждом отрезке исторического развития наши знания о действительности являются лишь относительными и в то же время содержат в себе частицу абсолютной истины: одни стороны предметов и явлений отражаются научными понятиями более или менее правильно, адекватно, другие — лишь примерно или даже неверно, третьи ещё вообще неизвестны.
Движение, изменение, развитие материального мира протекает в разных формах; предметы и явления объективной реальности наделены различными качествами и обладают разнообразными количественными характеристиками.
Различные направления науки изучают специфические качественные особенности предметов или стороны явлений, исследуют одну или несколько тесно связанных форм движения материи. Так, биохимия рассматривает химические процессы в их связи с живыми организмами, география описывает картину нашей планеты и изучает законы ее преобразования людьми, история имеет своим предметом раскрытие законов развития человеческого общества в их конкретном проявлении и т. д.
Специфика математики состоит в том, что она не рассматривает конкретные материальные тела, не анализирует какую-либо определённую форму движения материи. «Чистая математика, — писал Ф. Энгельс, — имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира...». Иначе говоря, математика изучает материальный мир с особой точки зрения: предметом её исследования являются сами количественные отношения (в общефилософском понимании этого термина), которые присущи всем без исключения объектам реальной действительности и которые «характеризуются, в отличие от качественных, лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают...».
Эта специфика предмета определяет широкую применимость математики в других науках. Внутренняя неразделимость качественных и количественных свойств предметов или явлений реальной действительности создаёт объективные предпосылки для использования математических методов в изучении многих важнейших проблем биологии, геологии, языкознания и др. В этом смысле К. Маркс говорил, что «...наука только тогда достигает совершенства, когда ей удаётся пользоваться математикой».
Математику принято считать абстрактной наукой, и это, бесспорно, справедливо. Именно специфика математики, изучающей пространственные формы и количественные отношения, определяет её особую абстрактность. На это обращал внимание ещё Ф. Энгельс: «...чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное...».
Иначе говоря, речь идёт об исследованиях, результаты которых достигаются не с помощью микроскопа или химических реактивов, а лишь силой абстракции.
Каждый предмет или явление объективной реальности обладают бесконечным числом свойств, качеств и неразрывно связаны с другими предметами и явлениями, со всем материальным миром. Наше мышление не может охватить сразу все эти свойства и всё многообразие связей. Поэтому, производя научные исследования, мы вынуждены останавливать своё внимание лишь на одном или нескольких свойствах изучаемого объекта, лишь на некоторых его связях с другими объектами. На все остальные свойства и связи мы не обращаем внимание, т. е. отвлекаемся, абстрагируемся от них.
Иными словами, всякое познание необходимо связано с процессами абстрагирования, с абстракциями. «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит — если оно правильное...— от истины, а подходит к ней... все научные (правильные, серьёзные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее», — отмечает В. И. Ленин.
Но абстракции имеют и свою слабость, которая заключается прежде всего в том, что каждая из них отражает объект как-то односторонне. «Мы не можем, — писал В. И. Ленин, — представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление, — ... и не только движения, но и всякого понятия». Поэтому отражение конкретного объекта во всей его полноте может быть осуществлено лишь с помощью бесконечного ряда абстракций, раскрывающих всё многообразие его свойств и качеств.
Итак, в основе математики лежит весьма реальный материал. «Тот факт, — замечает Ф. Энгельс, — что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира».
Наиболее простым и широко распространённым видом абстракции является абстракция отождествления. Проследим формирование этого вида абстракции на простом примере.
Возьмём, например, слово «дом». Оно выражает некоторое понятие, появляющееся в результате абстракции. Сам процесс абстрагирования можно представить себе примерно так. Мы рассматриваем совокупность, класс реальных предметов, обладающих общим для всех них признаком: каждый из этих предметов предназначен для того, чтобы внутри него жили или работали люди. Именно этот признак мы считаем главным, существенным в процессе абстрагирования. По этому признаку мы судим о том, принадлежит данный конкретный предмет нашему классу или нет, а от всех прочих свойств, которые присущи различным конкретным предметам нашего класса, мы отвлекаемся, считая их второстепенными, несущественными (например, количество и форма окон, число этажей, наличие или отсутствие электрического освещения и т. д.).
В результате такого отвлечения от несущественных свойств мы как бы отождествляем в нашем сознании все предметы рассматриваемого класса, создавая тем самым абстрактное понятие «дом». Само это слово является теперь знаком, символом, характеризующим любой предмет рассматриваемого класса. Когда мы говорим «это — дом», то имеем в виду, что данный предмет обладает основным указанным выше качеством, а индивидуальные отличия этого предмета рассматриваются как второстепенные.
Абстракция отождествления приводит к образованию ряда математических понятий, например понятия конкретного числа («два», «четыре», «десять» и т. д.).
Нам часто встречаются множества, содержащие одинаковое количество предметов: две руки, пара ботинок, два уха, пара лошадей в упряжке и т. д. Отождествление таких множеств на основании выделенного основного свойства приводит к образованию абстрактного понятия «два», отражающего общее, существенное, что есть у всех этих множеств. Само слово «два» и символ «2» являются знаками, обозначениями этого понятия.
Другой вид абстракции — абстракция идеализации (или идеализирующая абстракция). Примерами абстракций этого вида являются такие понятия, как «отрезок», «поверхность», «материальная точка», «абсолютно чёрное тело» и т. д.
Сравним для примера понятия «дом» и «материальная точка». Мы можем в окружающем нас мире указать на ряд предметов, о которых каждый скажет: «Это — дом». Но ни одной «материальной точки» указать нельзя: ведь это (согласно принятому в механике определению) объект, обладающий конечной массой и не имеющий никакой протяжённости. Ясно, что таких предметов в природе нет, ибо любой реальный предмет обладает большими или меньшими размерами. Таким образом, «дома» реально существуют, а «материальные точки» — нет.
То же самое можно сказать и о гесметрическом понятии «отрезок». В природе мы не наблюдаем «в чистом виде» предметов, обладающих длиной и «прямизной», но «лишённых толщины». Это понятие, следовательно, не возникает в результате абстракции отождествления, а является идеализацией.
Идеализация в общих чертах состоит в следующем. Реальный объект заменяется в нашем сознании абстрактной моделью, которая получается не только путём отвлечения от несущественных, второстепенных свойств, но и путём наделения модели идеализированными свойствами, в утрированном виде отражающими существенные свойства объекта. Например, если мы изучаем движение небесного тела, удалённого от нас на расстояние, во много раз превышающее его размеры, мы можем построить утрированную модель, считая это тело материальной точкой. Точно так же понятие «касания» в утрированном виде отражает возможное в действительности взаиморасположение предметов.
Разумеется, сказанное не означает, что понятия, возникающие в результате идеализации, совершенно оторваны от объективного мира и лишены реального смысла. Позволяя нам особенно глубоко и чётко проследить наиболее существенные свойства объектов, эти понятия имеют общеизвестное значение в практических приложениях математики.
Особым видом абстракции идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Она характеризуется отвлечением от реальных границ наших конструктивных возможностей, обусловленных ограниченностью нашей жизни в пространстве и во времени.
Эта форма абстракции позволяет нам рассуждать, например, о любом большом числе (скажем, о числе
Однако мы отвлекаемся от практической неосуществимости этой задачи, от ограниченности наших возможностей и считаем допустимым рассматривать любые числа, приходя тем самым к понятию «бесконечный ряд натуральных чисел».
В результате применения этого вида абстракции возникают и такие понятия, как «прямая» (неограниченно простирающаяся в обе стороны), «плоскость» и другие.
Современная математика оперирует с громадным количеством понятий, которые не могут быть получены как очевидные, непосредственные абстракции доступных живому созерцанию свойств объектов материального мира. Эти понятия образуются в процессе многоступенчатого наслоения абстракций.
Исходные, первичные математические понятия возникают из объективной реальности, отражая, абстрагируя количественные отношения и пространственные формы объектов действительности. Но, возникнув, эти понятия как бы живут своей собственной жизнью, образуя в сознании человека свой собственный мир, сами порождают дальнейшие отражения и новые абстрактные понятия. Эти абстрактные понятия в свою очередь снова порождают новые абстракции, так сказать, более высокого порядка и т. д.
Для того чтобы пояснить сказанное, обратимся к понятию «числа». Число, первоначально выступающее как результат счёта предметов (абстракция отождествления), обобщается затем до понятия натурального числа (абстракция потенциальной осуществимости). Потом вводится понятие дробного числа (абстракция отождествления. Следующая абстракция — рациональные числа (положительные и отрицательные), а затем и действительные числа.
Многоступенчатый характер абстракции здесь совершенно ясно виден. Точно так же понятия «числа», «вектора», «геометрического преобразования» и ряд других абстракций (относящихся, очевидно, к пространственным формам и количественным отношениям реального мира) порождают понятие «группа», являющееся абстракцией более высокого порядка.
Однако не следует думать, что многоступенчатость математических абстракций, наличие абстракций разного порядка означают отрыв математики от реального мира. Очень поучительным в этом отношении является то, что многие «изысканные» абстрактные понятия и теории современной математики уже сейчас находят важные применения. Так, понятие «группа» и тонкие вопросы теории групп находят важные приложения в физике элементарных частиц.
Специфический отпечаток на всю математику накладывает гипотетический характер математических теорий.
Физики изучают, например, изотермические газовые процессы, т. е. исследуют свойства газа при условии, что его температура не изменяется. Другой пример из физики — изучение переохлаждённых жидкостей, т. е. исследование свойств вещества при условии, что оно имеет температуру ниже точки плавления, но (в силу особых условий опыта) не кристаллизуется, а остаётся в жидком состоянии. Законы, открытые в этих условиях, будут гипотетическими, т. е. справедливыми при выполнении определённых гипотез.
Однако в физике такие законы имеют смысл лишь тогда, когда соответствующие условия, гипотезы реально осуществимы. В самом деле, если бы кто-нибудь создал «теорию» о поведении веществ при температуре ниже абсолютного нуля, то физики вряд ли приняли бы её всерьез, ибо она использует гипотезу, противоречащую известным нам свойствам реального мира.
В математике дело обстоит (во всяком случае, внешне) по-другому. Окружающие нас предметы имеют три измерения, но математики построили теорию
Но характерно, что эти на первый взгляд «дикие» теории находят важное применение при изучении реальной действительности! Достаточно напомнить, например, что теория относительности широко использует четырёхмерное пространство.
Наиболее ярким примером гипотетической теории, оказавшей решающее влияние на всю математику, была геометрия Лобачевского. Н. И. Лобачевский заменил постулат Евклида о параллельных другим, своим постулатом (через данную точку в данной плоскости можно провести бесчисленное множество прямых, не пересекающих данную прямую), а затем на базе этой аксиомы (и остальных аксиом, совпадающих с евклидовыми) построил логически стройную и законченную геометрию.
Открытие Н. И. Лобачевского в значительной мере предопределило полное торжество аксиоматического метода построения математики. Суть этого метода состоит в том, что все теоремы выводятся чисто логическим путём из сравнительно небольшого числа недоказываемых предложений — аксиом. Иначе говоря, математическая теория развивается, строится в предположении, что имеют место определённые, заранее фиксируемые аксиомы.
Математик в процессе своего творчества имеет дело с абстрактными понятиями. Он не обращается каждый раз в своих рассуждениях к объективной действительности, непосредственно исследует не е, а именно этот «мир понятий». Для доказательства той или иной теоремы нет необходимости описывать и систематизировать факты и явления, не нужно строить громоздкие и дорогостоящие установки, не требуется проводить ювелирно-тонкие эксперименты.
Математическое исследование происходит чисто умозрительным путём, подчиняясь законам логики. Математик в процессе своей работы преследует лишь цель проведения логически строгих, исчерпывающих доказательств теорем, построения непротиворечивых теорий.
Но, помимо чисто логической деятельности мышления, большую роль в развитии математики (как, впрочем, и всякой науки) играют и такие творческие возможности человеческого разума, как воображение, интуиция. Подчёркивая значение творческого воображения, интуитивной догадки, значение фантазии в процессе познания, В. И. Ленин писал: «Напрасно думают, что она нужна только поэту. Это глупый предрассудок! Даже в математике она нужна, даже открытие дифференциального и интегрального исчислений невозможно было бы без фантазии».
Чисто умозрительный, мыслительный путь математического исследования, допускающий широкое использование фантазии и гипотетических построений, создаёт иллюзию независимости математических понятий и теорий от объективного мира, отсутствия реального содержания у абстракций более высокого порядка, возникающих в процессе «свободного творчества» разума.
В самом деле, формально открывается следующая возможность: математик выдвигает произвольные, выдуманные им аксиомы и выводит из них с помощью законов логики различные следствия; если ему «повезёт» и в результате получится непротиворечивая теория, то можно говорить о математическом открытии. Иными словами, математик, не будучи связан непосредственно ни с какими реальными объектами, ни с какой формой движения материи, может, казалось бы, руководствоваться только своим воображением, делать любые гипотезы и на их основе развивать теории, лишь бы получить что-нибудь логически непротиворечивое и «математически интересное».
Развивая подобные мысли, один из крупнейших французских математиков Анри Пуанкаре (1854—1912 гг.) утверждал, что в основе математики (и даже науки вообще) якобы лежат свободные, произвольно принятые соглашения, выдуманные исследователем и удобные для него. Он считал, что математика является продуктом свободного «чистого разума» и не зависит от существования материальных объектов, не связана с практической деятельностью людей. Что же касается возможности практического применения достижений математики, то это лишь счастливая случайность, объяснить которую мы не в состоянии.
Отдавая должное научным заслугам А. Пуанкаре, В. И. Ленин подверг резкой критике его философские концепции, охарактеризовав его как «очень путаного философа». Следует иметь в виду, что при всей нелепости и откровенно идеалистическом характере подобных взглядов, опровергнуть их чисто логическими доводами невозможно. Правильный ответ может дать только последовательная диалектико-материалистическая точка зрения, признание практики критерием истины.
Логика является рабочим инструментом математики: утверждение, выведенное из посылок, аксиом и определений по правилам логики, считается в математике истинным. Но «очевидность», «ясность», «убедительность» самих шагов логических рассуждений возникает не сама по себе; правомерность логических построений находит своё подтверждение в многовековом опыте практической деятельности человечества.
Именно этот опыт подтверждает, что внутренние законы развития логического мышления тождественны законам развития объективной реальности. Ф. Энгельс писал по этому поводу: «Над всем нашим теоретическим мышлением господствует с абсолютной силой тот факт, что наше субъективное мышление и объективный мир подчинены одним и тем же законам и что поэтому они и не могут противоречить друг другу в своих результатах, а должны согласоваться между собой».
Таким образом, требование формальной математической строгости, т. е. точности определений, полноты доказательств теорем, непротиворечивости теорий и т. д., и есть одна из сторон специфического проявления критерия практики в математике.
Однако сама по себе математическая строгость не может полностью заменить собой критерий практики, не является исчерпывающей гарантией истинности математического знания, т. е. правильности отражения человеком объективной реальности. Ибо существенным является и вопрос о соответствии принятых в теории посылок реальной действительности. Этот вопрос уже выходит за пределы компетенции логики и может быть решён лишь в ходе общественнопроизводственной (в том числе — научной) деятельности людей. Только опыт этой деятельности может отличить строго логичные «теории», построенные на нереальных, фантастических гипотезах и аксиомах, от подлинно научных теорий, приближающих нас к познанию объективных истин.
Научно-историческая практика свидетельствует, что первичные понятия математики и описывающие их аксиомы взяты из жизни и являются отражением объективных свойств реальных предметов. Поскольку логика понятий отражает объективную логику вещей, т. е. объективные связи предметов материального мира, то новые понятия и теории теснейшим образом связаны с реальным миром и потому закономерно, а вовсе не случайно, находят все новые приложения в научной и практической деятельности людей.
Протекающий сейчас бурный процесс «математизации» знаний, ещё более стимулируемый развитием вычислительной техники, полностью подтверждает мощь математических методов и их органическую связь с жизнью.