Признаки делимости на 19 и 7Признаки делимости на 19 и 7 // Квант. — 1970. — № 6. — С. 10.‍‍

Зачеркнугь последнюю цифру и прибавить к полученному числу число, равное удвоенной вычеркнутой цифре. Если полученное число делится на 19, то и исходное число делится на 19.

Последовательно выполняя эту операцию, мы придем к двузначному числу (а если пожелаем, то и к числу, не большему, чем 19).

Пример: делится ли на 19 число $3\, 086\, 379$‍?‍ $$ \begin{split} 308\, 637 +2\cdot 9 ={}& 308\, 655\\ &308\, 75\\ &309\, 7\\ &323\\ &38 \end{split} $$

Так как 38 делится на 19, то на 19 делится также и исходное число $3\, 086\, 379$‍.‍

Возьмем число $\overline{abcd}$‍.‍ Прочтем его так, будто бы оно записано по троичной системе, то есть $\overline{abcd}=a\cdot 3^3 + b\cdot 3^2 + c\cdot 3 +d$‍‍ (не будем обращать внимание на то, что цифры $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍‍ могут быть равны 3, 4, 5, и т. д.). Если оно делится на 7, то и исходное число делится на 7. Верно ли это?