По следам одной задачиПо следам одной задачи // Квант. — 1970. — № 4. — С. 34.‍‍

Во время первой мировой войны среди французских офицеров, которые пришли в армию со студенческой скамьи, во время длительных порой промежутков между боями были распространены состязания по решению задач из элементарной математики. Победитель должен был найти правильное и наиболее интересное по общему мнению решение.

Вот одна из таких задач:

Доказать, что треугольник равнобедренный, если две его биссектрисы равны.

Пытались решать эту задачу многие, но находили правильные пути не все. Не хотите ли попробовать свои силы?

---

В 1939 году во втором туре 5-й Московской математической олимпиады участникам ее была предложена задача: «Разложить на целые рациональные множители выражение $a^{10}+a^5+1$‍‍».

Эту задачу легко решить, если воспользоваться теоремой: Многочлен $1+a^{3k+1}+a^{3p+2}$‍‍ делится без остатка на многочлен $1+a+a^2$‍‍ при любых натуральных $k$‍‍ и $p$‍.‍

Попробуйте установить, справедлива ли теорема:

Многочлен $1+a^{4m+1}+a^{4l+2}+a^{4k+3}$‍‍ делится без остатка на многочлен $1+1+a+a^2+a^3$‍‍ при любых натуральных $k$‍,‍ $l$‍‍ и $m$‍.‍

зачем 1+1?