Текст статьи Плоский мир Хинтона // Квант. — 1970. — № 4. — С. 28—31.
В 1907 году в Лондоне была издана книга «Эпизод в Флетленде», написанная преподавателем математики Принстонского, а затем Миннесотского университета Чарльзом Говардом Хинтоном. В ней Хинтон сделал попытку образно описать плоский мир.
В двухмерном мире, созданном силой воображения Хинтона, вокруг плоского, как блин, Солнца вращаются такие же плоские планеты, на одной из которых, названной автором Астрией, и происходят события, описанные в романе. Этот двумерный мир вы легко представите себе, положив на стол несколько монет. Пусть одна из них, скажем, металлический рубль, изображает Солнце, другие же, более мелкие монеты, изображают планеты, вращающиеся вокруг него. Сила тяжести в этом двумерном мире ведет себя не так, как в нашем пространстве. Отличие заключается только в том, что она изменяется обратно пропорционально расстоянию между телами, a не квадрату расстояния, как в привычном нам мире.
Астрия вращается вокруг своей оси, как любая планета. Направление, в котором она вращается, называется востоком, а противоположное — западом. Своих плоских астриян (жителей Астрии) Хинтон как бы поставил на «обод» планеты. Они мoгут перемещаться, оставаясь в плоскости диска Астрии. В этой же плоскости растут деревья и стоят дома. Поэтому, встречая дерево, астриянин должен или перебираться через него, или его срезать. Чтобы один пропустил другого, два жителя планеты должны двигаться или один под другим, или перепрыгивать друг через друга, как это сделали бы два акробата на туго натянутом канате.
Чтобы увидеть что-либо сзади себя, астриянин должен нагнуться и стать на голову или применить зеркало. Так как второй способ более удобен, то ни один житель Астрии не выходит из дома без зеркала.
Помимо того, что каждый астриянин носит с собой зеркало, все их дома также снабжены зеркалами. Устройство домов сообразуется с двумерным миром. Они имеют окна и двери, через которые можно входить и выходить, но, чтобы дом не рухнул, в нем можно открывать одновременно только одну дверь или окно. Если западная дверь открыта, восточная дверь и окна должны быть закрыты, иначе верхняя часть дома обвалится. По той же причине дома в Астрии не имеют труб. Ведь нет способа соединить концы трубы так, чтобы отверстие не было закрыто.
Тела астриян имеют сложную структуру, но, чтобы избежать ненужного детализирования, Хинтон предоставляет их прямоугольными треугольниками с руками, ногами и одним глазом. Все мужчины Астрии рождаются с лицами, обращенными на восток, а все женщины — на запад. Такая ориентация сохраняется у них до самой смерти, так как для плоских существ (двумерцев) нет способа повернуться, не выходя в третье измерение. Поцеловать жену или дочь астриянину просто. А вот, чтобы поцеловать сына, отцу приходится переворачивать его и держать вверх ногами.
Грузы в Астрии перевозят кораблями и самолетами. Винт исключается (при своем вращении он выходит в третье измерение), поэтому все самолеты — с машущими крыльями.
Веревки в Астрии не могут быть завязаны в узлы. Это возможно лишь в трехмерном мире. Можно математически строго доказать, что веревки (одномерные тела) могут быть завязаны в узлы только в пространстве трех измерений, но доказательство этой теоремы (и даже ее точную формулировку) мы приводить здесь не будем.
В плоском мире совершенно исключаются колеса с осями. Тяжелые тела можно транспортировать в Астрии, применяя метод перекатывания через круги, подобно тому как трехмерные вещи можно двигать на подложенных под них цилиндрических катках.
Таков математический фон романа Хинтона. Но этим не исчерпываются все 181 страница «Эпизода в Флетленде». Есть там и любовь, и война, и надвигающаяся катастрофа (приближение другой планеты, которое может настолько изменить орбиту Астрии, что жизнь там станет невозможной), и счастливый конец. Но это подано гораздо менее интересно, чем все, что касается математики и механики.
В заключение предлагаем решить задачу, которая поможет вам проверить свое восприятие двумерного мира.
Представьте себе плоский астриянский вагон длиной 30 метров, который перекатывается
на трех окружностях (см. рисунок). Центры окружностей расположены на расстоянии 10 метров
друг от друга. Этот вагон перемещают два астриянина. Как только положение, показанное на рисунке,
достигнуто, один из двумерцев берет заднее колесо и бросает его своему компаньону.
Тот ловит колесо и устанавливает его перед вагоном таҝ, как показано пунктиром на рисунке.
Вагон снова катится вперед (на рисунке вправо) на трех колесах. Освобождается следующее колесо,
его перебрасывают вперед и т. д. Эта процедура продолжается столько раз, сколько необходимо.
В 55 метрах впереди от колеса, обозначенного пунктиром, имеется небольшой выступ.
Вычислите, сколько колес перекатится через него при движении вагона. Найдите сначала
ответ в уме, а затем — при помощи карандаша и бумаги. Попробуйте обобщить решение
на случай