Текст статьи Петраков И. С. 14 дней в Бухаресте // Квант. — 1970. — № 4. — С. 49—51.
Жители Бухареста привыкли к туристам всех возрастов. Должно быть, поэтому вряд ли кто обращал внимание на разноязычные стайки юношей и девушек, знакомившихся в июле прошлого года с румынской столицей. И только посвящённые знали, зачем сюда приехали школьники из 14 стран.
Впрочем, из газет стало об этом известно потом многим.
Что же привело в Бухарест юных гостей из Англии, Бельгии, Болгарии, Венгрии, ГДР, Голландии, Монголии, Польши, Румынии, СССР, Франции, Швеции, Чехословакии, Югославии? Привела их математика: здесь проходила XI Международная математическая олимпиада.
Нелёгким был путь советских школьников в Бухарест. Для этого они должны были занять призовые места на всех наших олимпиадах различных «рангов» — школьных, районных, областных, Всесоюзной. Мало того, победа в соревнованиях только одного года ещё не гарантировала успеха. Предпочтение отдавалось тем, кто имел хорошую «олимпийскую биографию» за несколько лет.
И вот названы имена: Владимир Дринфельд — 10-й класс харьковской школы № 27, Андрей Зеленинский — 9-й класс московской школы № 2, Аркадий Климов — 9-й класс московской школы № 18 (физико-математическая школа при МГУ), Елена Неклюдова — 10-й класс московской школы № 7, Андрей Прасолов — 10-й класс и Андрей Ходулёв, 9-й класс, — оба из московской школы № 18, Валерий Соловьёв — 10-й класс казанской школы № 131, Павел Суворов — 10-й класс ленинградской школы № 45 (физико-математическая школа при ЛГУ). Этим восьмерым участникам олимпиады предстояло выдержать «бой» с таким же количеством соперников от каждой иностранной команды.
«Экзамен» принимало солидное жюри, возглавляемое румынскими академиками Мойсилом и Теодереску. В его состав входили видные учёные и педагоги из всех стран, пославших команды на олимпиаду; от СССР в жюри входил руководитель советской команды проф. В. И. Левин.
Приехав 7 июля в Бухарест, наши олимпийцы, В. И. Левин и его заместитель — автор этих строк — осмотрели достопримечательности города, его исторические памятники, музеи, парки, посетили советское посольство.
10 июля начались двухдневные соревнования. По условиям Олимпиады каждый из участников должен был как в первый, так и во второй день за четыре часа решить три задачи; их текст приведён ниже. Каждая задача оценивалась установленным количеством очков. За правильный ответ решивший получал максимальное количество очков, а если в решении были недочёты, число очков понижалось.
Между 12 и 19 июля участники Олимпиады отправились в путешествие по стране. Конечно, им очень понравились румынские города, где они чувствовали себя великолепно, но сердцем и мыслями были в Бухаресте, где жюри подводило итоги конкурса. Он стал известен 19 июля, когда в зале лицея им. Н. Бэлческу (лицеями называются там средние школы) были названы победители. Диплом первой степени жюри присудило участникам, набравшим максимально возможное число очков — 40. Его удостоилось трое: Владимир Дринфельд (СССР), Симон Нортон (Англия) и Фиала Тибор (Венгрия). Диплом второй степени вручили участникам, набравшим от 30 до 37 очков. Из наших участников их получили Андрей Прасолов, набравший 32 очка, Андрей Зеленинский и Андрей Ходулёв, набравшие по 30 очков. Диплом третьей степени вручались тем, кто набрал от 24 до 29 очков. Из советских учащихся дипломы третьей степени достались Елене Неклюдовой и Валерию Соловьёву, набравшим по 27 очков, а также Аркадию Климову, набравшему 24 очка. Павел Суворов набрал 21 очко. Он получил диплом участника.
По общему числу очков (231) наша команда заняла третье место, первое завоевали венгры — 247 очков. Им вручены один диплом первой степени, четыре — второй и два — третьей. Один венгерский школьник получил диплом участника. На втором месте команда ГДР — 240 очков: четыре диплома второй степени и четыре третьей. Если же считать по «олимпийскому счёту» 7 очков за первое место, 4 — за второе и 3 — за третье, то венгерская команда получила 29 очков, а команды ГДР и СССР по 28 очков.
Все члены нашей команды, окончившие 10-й класс, были зачислены без сдачи вступительных экзаменов на механико-математические факультеты университетов.
Приводим задачи, которые были даны участникам олимпиады. Полное решение всех задач опубликовано в журнале «Математика в школе» № 1 за 1970 год.
Задачи олимпиады
В первый день соревнований были даны следующие задачи.
- Доказать, что существует бесконечное множество натуральных чисел
$a$ со следующими свойствами: число$z=n^4+a$ не является простым ни для какого натурального$n$ (ГДР, 5 очков). - Пусть
$a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — действительные постоянные,$x$ — действительное переменное и $$ f(x)=\cos(a_1+x)+\frac{\cos(a_2+x)}2+\frac{\cos(a_3+x)}{2^2}+\ldots+\frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}. $$ Доказать, что из$f(x_1)=f(x_2)=0$ следует, что$x_1-x_2=m\pi$, где$m$ — целое число (Венгрия, 7 очков). - Для каждого значения
$k=1$, 2, 3, 4, 5 найти необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять число$a\gt0$ для того, чтобы существовал тетраэдр,$k$ рёбер которого имеют длину$a$, а остальные$6-k$ рёбер — длину 1 (Польша, 7 очков).
Во второй день были предложены задачи:
- Полуокружность
$\gamma$ построена на диаметре$AB$. Точка$C$ лежит на$\gamma$ и отлична от$A$ и$B$. Ортогональную проекцию$C$ на$AB$ обозначим через$D$. Рассмотрим три окружности$\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$, имеющие$AB$ в качестве общей касательной: из них$\gamma_1$ вписана в треугольник$ABC$, $\gamma_2$ и$\gamma_3$ обе касаются отрезка$CD$ и$\gamma$. Доказать, что$\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$ имеют вторую общую касательную (Голландия, 6 очков). - В плоскости даны
$n\gt4$ точек, причём никакие три не лежат на одной прямой. Показать, что можно найти не менее$C_{n-3}^2$ выпуклых четырёхугольников с вершинами в четырёх из данных точек (Монголия, 7 очков). - Доказать, что если
$x_1\gt0$, $x_2\gt0$ и$x_1y_1-z_1^2\gt0$, $x_2y_2-z_2^2\gt0$, то $$ \frac8{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2}\le\frac1{x_1y_1-z_1^2}+\frac1{x_2y_2-z_2^2}. $$ Установить необходимые и достаточные условия, при которых в данном неравенстве имеет место равенство (СССР, 8 очков).