Текст статьи Кузичев А. С., Успенский В. А. Гуманитарии сдают математику // Квант. — 1970. — № 4. — С. 35—40.
Варианты задач для письменного экзамена
Факультет психологии
- Внутренняя точка
$A$ $r$ $l$ $\alpha$ $A$ - Найти все положительные числа
$a$ ,$x$ , - Доказать, не пользуясь десятичными дробями, что $$ \log_25\gt\log_532. $$
- Расстояние между
$A$ $B$ - Доказать, что $$
8x^2+y^2+11z^2+4xy-12xz-5yz\gt0,
$$
если
$x^2+y^2+z^2\gt0$ .
Задачи из других вариантов
- В шаре радиуса
$r$ $AB$ $AC$ ,$AD$ $AF$ $\alpha$ $ACD$ ,$ADF$ ,$ACF$ ,$BCD$ ,$BDF$ $BCF$ . - Из
$A$ $B$ $A$ $B$ ,$B$ $A$ $A$ ,$A$ $B$ $A$ $B$
Решения задач
1. Пусть
2. По формуле разности косинусов
$$
2\sin[(7a+4)x]\cdot\sin[(2a+13)x]=0.
$$
Так как
Ясно, что неотрицательные решения (соответствующие неотрицательным
Покажем, что члены этих двух прогрессий образуют вместе арифметическую
прогрессию тогда и только тогда, когда одна из разностей целое число раз укладывается в другой, т. е. когда либо
Действительно, если числа 0,
Обратно, если, например,
Итак,
Следовательно, мы должны рассмотреть два случая:
1)
2)
3. Так как
4. Скорость второго пешехода больше.
5.
Следовательно, исходное выражение неотрицательно, как приводимое к сумме
квадратов, и если оно обращается в нуль, то
Поэтому, если
а) Искомый объём равен $$ \dfrac1{\sqrt3}(2r)^3\left(3-4\sin^2\dfrac\alpha2\right)\sin^2\dfrac\alpha2. $$
б) Пусть
Отделение политической экономии экономического факультета
- На участке одноколейной железной дороги длиной в 28,5 км надо уложить рельсы. Для укладки имеются рельсы длиной в 30 м и 15 м. Если уложить все рельсы длиной в 30 м, то рельсов длиной в 15 м надо будет добавить 40% от всего их количества. Если же уложить все рельсы длиной в 15 м, то рельсов длиной в 30 м надо добавить 60%, от всего их количества. Определить количество рельсов того и другого вида.
- Решить неравенство $$ |x^2-1|-2x\lt0. $$
- В остроугольном треугольнике
$ABC$ $B$ $BD$ ,$m$ .$A$ $\alpha$ ,$C$ $\gamma$ .$ABC$ . - Решить уравнение $$ \sin x\cdot\ctg^2\dfrac x2+4(1+\cos x)-5\sin x=0. $$
- Решить уравнение $$ \sqrt{x\vphantom)}+\sqrt{x(x+2)}-\sqrt{(x+1)^3}=0. $$
Задачи из других вариантов
- В букинистическом магазине антикварное собрание сочинений стоимостью 350 руб. уценивали дважды на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что после двойного снижения цен собрание сочинений стоит 283 руб. 50 коп.
- При каком действительном
$x$ $\dfrac{2x-1}{2x-x^2-4}$
Решения задач
1. При составлении уравнений следует учитывать, что одноколейная железная дорога в 28,5 км имеет рельсовый путь в 57 км. Надо уложить рельсов: 1500 длиной 30 м и 2000 длиной 15 м.
2.
3.
4.
5.
а) 10%.
б) Положив
Следовательно, наименьшее значение
Отделение экономической кибернетики экономического факультета
- Решить уравнение $$ \begin{gather*} \left(\sqrt{\cos x}-4\sqrt[4]2\sqrt[4]{\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)}+ 5\sqrt[4]2\right)^2-{}\\{}-2\sqrt{\cos x}\left(\sqrt{\cos x}- 4\sqrt[4]2\sqrt[4]{\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)}+5\sqrt[4]2\right)-\sin x=0. \end{gather*} $$
- Четыре группы туристов отправились в воскресный поход по четырём маршрутам разной длины. Сумма расстояний, пройденных первой и четвёртой группами, на 6 км больше суммы расстояний, пройденных второй и третьей группами. Вторая группа прошла на 2 км меньше первой. Число туристов третьей группы равно расстоянию, пройденному первой группой, а число туристов второй группы равно расстоянию, пройденному четвёртой группой. Сумма квадратов расстояний, пройденных каждой группой, равна 494. Сколько километров прошла каждая группа?
- В круг радиуса
$R$ $ABCDEF$ .$\angle A=\angle C=\angle E$ ,$AB=a$ ,$CD=b$ ,$EF=c$ .$ABCDEF$ . - Решить неравенство $$ (4x-x^2-3)\log_2(\cos^2\pi x+1)\ge1. $$
Задачи из других вариантов
- Отрезок
$AB=a$ $BC=3a$ .$a$ $A$ $B$ $3a$ $C$ . - Решить неравенство $$ |\sqrt2\,|x|-1|\log_2(2-2x^2)\ge1. $$
Решения задач
1. Область допустимых значений (ОДЗ):
$$
-\dfrac\pi4+2k\pi\le x\le\dfrac\pi2+2k\pi,\quad k=0{,}~\pm1{,}~\ldots
$$
Положим
$$
y=\sqrt{\cos x}-4\sqrt[4]2\sqrt[4]{\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)}+5\sqrt[4]2,
$$
тогда
$$
y^2-2\sqrt{\cos x}\,y-\sin x=0,
$$
откуда
$$
y=\sqrt{\cos x}\pm\sqrt{\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)},
$$
т. е. имеем
$$
\begin{gather*}
\sqrt{\cos x}-4\sqrt[4]2\sqrt[4]{\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)}+5\sqrt[4]2=\\
=\sqrt{\cos x}\pm\sqrt{\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)}.
\end{gather*}
$$
Положив
2. Пусть
3.
4.
а) Фигура, площадь которой мы ищем, есть «криволинейный треугольник»
Площадь сектора
Площадь общей части трёх кругов равна $$ a^2\left(\dfrac\pi3+\dfrac{17}3\arcsin\dfrac16-\frac{\sqrt{35}+\sqrt3}4\right). $$
б)
Филологический факультет
- Даны три вещества тяжелее воды. Один грамм первого вещества занимает в
$3\dfrac35$ $\dfrac5{12}~\text{см}^3$ $\dfrac95~\text{г/см}^3$ - Решить уравнение $$ \sin4x\cdot\sin6x=2(\sin x+\sin5x). $$
- Решить неравенство $$ [\log_2x-\log_4(x+3)]^{x-4}\gt1. $$
$N$ $N$ ,- Указать хотя бы одну пару целых положительных чисел
$k_1$ $k_2$ $36k_1-49k_2=2$ . - Доказать, не пользуясь таблицами, что $$ \log_23\gt\log_35. $$
- Указать все корни уравнения $$ x^2+1=\cos x. $$
Задачи из других вариантов
- Если вместо обычного домино, где употребляются камни с числами 0, 1, 2,
$\ldots$ ,$\ldots$ ,$k$ , - Остаток от деления некоторого числа
$n$ $n$ $n$ - Доказать, что $$ \tg142^\circ\,30'-\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6 $$ есть целое число.
Решения задач
1. Из условия:
$$
\dfrac1{\rho_1}=\dfrac{18}5\,\dfrac1{\rho_2},\quad
\dfrac1{\rho_1}=\dfrac1{\rho_3}+\dfrac5{12},\quad
\rho_2=\dfrac95+\rho_3,\quad
\rho_1\gt1,~\rho_2\gt1,~\rho_3\gt1,
$$
где
2.
3.
4. Так как каждый из друзей послал
5. Например,
6. Воспользоваться неравенствами $$ \log_23\gt\dfrac32\gt\log_35. $$
7.
а)
б)
в)
В заключение предлагаем решить самостоятельно по одному варианту каждого факультета.
Филологический факультет
- В бассейн проведено три трубы, по которым в него течёт вода. Первая и вторая трубы вместе наполняют бассейн на
$\dfrac{35}{18}$ $\dfrac75$ - Решить уравнение $$ \log_{\sin x}\left(\sin x-\dfrac14\cos x\right)=3. $$
- Решить неравенство $$ 2\log_3x-\log_{\frac13}(4-x)\le\log_3(x-10^2+2\log_2(10-x). $$
$N$ - Указать хотя бы одну пару целых положительных чисел
$k_1$ $k_2$ $36\cdot k_1-25\cdot k_2=1$ . - Доказать, не пользуясь таблицами, что
$\log_39\gt\log_511$ . - Есть ли тупой угол у треугольника, стороны которого равны соответственно 10, 14 и 17?
Факультет психологии
- В шаре проведён диаметр
$AB$ $AM$ $AN$ ,$\alpha$ $MN$ $\beta$ . - Найти все положительные числа
$a$ ,$x$ ,$\cos[(8a-3)x]=\cos[(14a+5)x]$ - Доказать, не пользуясь десятичными дробями, что
$\log_316\gt\log_{16}729$ . - Расстояние между станциями
$A$ $B$ $A$ $B$ $A$ ,$B$ $A$ . - Доказать, что $$
2x^2+5y^2+3z^2-6xy-2xz+5yz\gt0,
$$
если
$x^2+y^2+z^2\gt0$ .
Отделение политической экономии
- Пять туристских палаток и двадцать спальных мешков стоили 490 руб. После десятипроцентной скидки на одну палатку и пятипропентной скидки на один мешок за то же количество палаток и мешков нужно платить 457 руб. Сколько до скидки стоила одна палатка и сколько стоил один мешок?
- Решить неравенство:
$x^2+x-10\lt\dfrac2x-2$ . - В остроугольном треугольнике
$ABC$ $A$ $\alpha$ ,$AC$ $b$ .$B$ $m$ .$ABC$ . - Решить уравнение:
$(3-\ctg^2x)\sin2x=2(1+\cos2x)$ . - Найти наибольшее значение дроби
$\dfrac{3x-2}{4x-x^2-6}$ ,$x$
Отделение экономической кибернетики
- Решить уравнение $$ \left(4\sqrt{\cos\dfrac x2}-5-\dfrac{\sqrt2}2\right)^2+ \sqrt2\left(4\sqrt{\cos\dfrac x2}-5-\dfrac{\sqrt2}2\right)-\dfrac{\cos x}2=0. $$
- В пионерском лагере работают четыре художественных кружка. Каждому члену кружка привезли по одинаковому набору красок. В первом и четвёртом кружках вместе столько же пионеров, сколько во втором и третьем кружках вместе, а во втором и четвёртом кружках вместе на четыре пионера больше, чем в первом и третьем кружках вместе. В третьем кружке не больше десяти пионеров. Сколько пионеров в каждом кружке, если цена в рублях одного набора красок равна количеству членов первого кружка, поделённому на десять, а за краски заплатили 52 руб. 80 коп.?
- В трапецию
$ABCD$ $AC$ ,$h$ ,$AD$ $\alpha$ $\delta$ . - Решить неравенство:
$2^{-|x-2|}\log_2(4x-x^2-2)\ge1$ .
Ответы, указания, решения
Филологический факультет
$\dfrac1{14}$ .$x_1=\dfrac\pi{12}+2k\pi$ ,$x_2=5\dfrac\pi{12}+2k\pi$ ,$k=0$ ,$\pm1$ ,$\ldots$ $0\lt x\le\dfrac58$ ;$2\le x\lt4$ .$\dfrac{N(N-1)}2$ .$k_1=16$ ,$k_2=23$ .- Нет.
Факультет психологии
$2\arcsin\dfrac{\sin\beta}{2\cos\alpha}$ .$a=\dfrac1{30}$ ,$\dfrac2{19}$ ,$\dfrac38$ ,$\dfrac75$ ,$\dfrac{11}2$ .- Скорость второго поезда больше.
Отделение политической экономии
- 34 руб., 16 руб.
$\dfrac{-3-\sqrt{65}}2\lt x\lt3$ .$\dfrac{b^2\sin\alpha\cos\alpha+b\sin\alpha\,\sqrt{4m^2-b^2\sin^2\alpha}}4$ .$x_1=\dfrac\pi2+k\pi$ ,$x_2=\dfrac\pi4+k\pi$ ,$x_3=-\arctg\dfrac13+k\pi$ ,$k=0$ ,$\pm1$ ,$\ldots$ $-1+\dfrac{\sqrt{34}}4$ .
Отделение экономической кибернетики
$x=4k\pi$ ,$k=0$ ,$\pm1$ ,$\ldots$ $x_1=12$ ,$x_2=14$ ,$x_3=8$ ,$x_4=10$ ,$x_i$ $i$ $i=1$ ,$\dfrac h2\cdot\dfrac{\ctg^2\dfrac\alpha2-\tg^2\dfrac\delta2} {\sqrt{\left(\ctg\dfrac\alpha2+\tg\dfrac\delta2\right)^2+4}}$ .$x=2$ .