Копылов Г. И.

Энергия и импульс быстрых частицКопылов Г. И. Энергия и импульс быстрых частиц // Квант. — 1970. — № 3. — С. 34‍—‍41.‍‍

Излагая новое, надо опираться на уже известное. Примем, что формулу $E=Mc^2$‍‍ читатель знает.

Формулу эту открыл Эйнштейн. Это ему мы обязаны тем, что знаем теперь, как надо подсчитывать энергию быстрых частиц, и знаем, что даже в лежачем камне таятся несметные невостребованные запасы энергии. Он вывел эту формулу задолго до того, как она впервые понадобилась практически (задолго до 1919 года, когда впервые было замечено ядерное превращение). Ещё в 1905 году Эйнштейн доказал, что энергию и импульс очень быстрого тела нельзя вычислять по привычным формулам $E=\dfrac{mv^2}2$‍‍ или $P=mv$‍.‍ Он доказал и многое другое, он буквально перевернул наши привычные представления обо всех главных вещах: движении, пространстве, времени, свете, массе. Но нам пока важно только то, что он говорил об энергии и импульсе.

Суть открытия Эйнштейна можно изложить примерно так.

Нет ничего в мире быстрее света. И не может один свет быть быстрее другого. Любой свет (в пустоте) движется всегда одинаково быстро. Поэтому скорость света удобно принять за единицу. Всякое другое движение, например движение какого-нибудь тела, не может происходить быстрее распространения света, т. е. скорость любого тела всегда меньше единицы. Но как же тогда быть с телом, которое какая-то сила очень долго разгоняет? Ведь любая сила вызывает ускорение, а ускорение увеличивает скорость, и не наступит ли время, когда скорость ускоряемого тела превысит эту самую единицу? Но это невозможно; значит, с ростом скорости ускорение должно постепенно уменьшаться — уменьшаться настолько быстро, чтобы не успеть довести скорость тела до единицы. Но что значит, что при постоянно действующей силе ускорение уменьшается? Как это может быть? Известно другое свойство движения: ускорение обратно пропорционально массе тела — чем тело тяжелее, тем труднее его той же силой ускорять. Значит, можно сделать вывод, что ускорение уменьшается из-за того, что масса растёт. Тогда концы с концами сойдутся: по мере роста скорости тело тяжелеет, и прежняя сила уже не может дать ему прежнего ускорения. Ускорение падает, и скорость почти не меняется. Эйнштейн вывел формулу увеличения массы по мере приближения скорости тела о к единице: $$ M=\dfrac m{\sqrt{1-v^2}}. $$ Через $m$‍‍ здесь обозначена масса тела, когда оно неподвижно, т. е. когда $v=0$‍.‍ При скорости $v$‍,‍ приближающейся к единице, знаменатель дроби становится всё меньше, а сама дробь — всё больше.

Теперь подойдём к вопросу с другой стороны. Ведь силу-то, столько времени действовавшую на тело, должен был приложить какой-то человек или какой-то двигатель. Пусть, например, двигатель. Он работал сколько-то времени, расходовал на это горючее, тратил энергию. А энергия, как известно, пропасть, исчезнуть бесследно не может. Она, по-видимому, передаётся разгоняемому телу, и чем дольше действует двигатель, тем больше тело поглощает энергии. Но куда её поглощать, если скорость тела всё равно не может превысить единицы? Разгадка проста: очевидно, энергия тратится на рост массы тела. Рост массы — это и есть отражение роста энергии. Опять всё сходится: сила производит работу над телом, увеличивая его энергию; энергия аккумулируется, накапливается в теле, увеличивая его массу. Становится понятным, откуда могла появиться знаменитая формула $E=Mc^2$‍,‍ которую запишем в виде $E=M$‍,‍ потому что скорость света $c$‍‍ мы приняли за единицу. Не подумайте только, что мы вывели формулу $E=Mc^2$‍.‍ Она была получена на основе совсем иных соображений, а мы пояснили простейшим способом её смысл.

Подытожим теперь то, что было сказано, но выразим это по-другому. Почему при быстром движении нужны новые формулы для массы и для энергии? Если бы масса тела при разгоне его не росла, то росла бы его скорость, и в конце концов тело обогнало бы свет, а это противоречит опыту. Если бы энергия тела при разгоне его не росла, то куда девалась бы затрачиваемая на разгон работа?

«Всё это хорошо, — скажете вы, — но почему никто никогда не замечал, чтобы тела, разгоняясь, тяжелели?».

Это действительно трудно заметить: слишком медленно движется всё, что нас окружает. Медленно по сравнению со скоростью света, с единицей. Ведь накопление массы в теле становится заметным лишь с приближением скорости тела к предельной, а скорость самой быстрой ракеты меньше 0,0001 — так велика скорость света. Вот если бы скорость света была, скажем, 10 км/с, то ракетостроителям пришлось бы в своих расчётах пользоваться формулами Эйнштейна, учитывать увеличение инерции ракет с приближением к этой скорости. А стань скорость света ещё меньше, например 1 км/с, то уже немалое число явлений в мире потекло бы совсем по-иному, и механика Эйнштейна казалась бы нам столь же естественной, как сейчас механика Ньютона.

«Но тогда, — зададите вы ещё вопрос, — не противоречат ли они друг другу при наших малых, привычных скоростях?». Нет, не противоречат. Эйнштейн вёл свои рассуждения так, чтобы на малых скоростях не потревожить многократно испытанных законов Ньютона. Если скорость $v$‍‍ очень мала, дробь $\dfrac1{\sqrt{1-v^2}}$‍‍ с хорошей точностью обращается в $1+\dfrac{v^2}2$‍‍ (проверьте, подставив, например, $v=0{,}0001$‍),‍ а формула роста массы — в формулу $$ M=m+\dfrac12mv^2. $$ Когда ракета летит даже со скоростью 30 км/с, то это означает, что $v=0{,}0001$‍,‍ т. е. масса увеличивается примерно на одну двухсотмиллионную. Заметить такое невозможно.

Вместо последней формулы можно написать равноценную ей формулу, если вспомнить, что масса тела и его запас энергии — это одно и то же: $$ E=m+\dfrac12mv^2. $$

Значит, при малых скоростях энергия всякого свободно движущегося тела состоит из двух частей: из части $m$‍,‍ от скорости не зависящей, и из части $\dfrac{mv^2}2$‍,‍ растущей как квадрат скорости... Погодите, но ведь $\dfrac{mv^2}2$‍‍ — это кинетическая энергия тела! Значит, Эйнштейн открыл, что кинетическая энергия (которую мы обычно считаем энергией тела, движущегося свободно, без воздействия каких-либо сил) — это только часть всего запаса энергии, которая есть у тела. И очень небольшая часть. Главная энергия заключена в члене $m$‍‍ — в той массе, которая не затронута скоростью и имеется в теле даже тогда, когда оно стоит на месте. Это и есть то, что можно назвать энергией существования.

Если где-то возникла новая крупица вещества, то на её создание была затрачена какая-то работа, у какого-то другого тела пришлось урвать или из какого-то источника нацедить запас энергии на сооружение этой крупицы вещества, и этот запас уже сидит в ней, даже если крупица не движется. Для обычных, больших, сложенных из атомов тел это звучит несерьёзно: ведь их мы создаём всегда из готового стройматериала (атомов) и не тратим энергии на создание атомов. Значит, в этом случае энергия существования особой важности не представляет: всё, что нужно, существует и так. Там вопрос о сотворении вещества просто не возникает.

Иное дело — превращения мельчайших частиц. Там действительно создаются новые сорта частиц из частиц прежнего сорта и из накопленной ими энергии, а то и только из одного света. Как у ибсеновского пуговичника, в переплавку идёт всё старьё без остатка, и пренебрегать энергией $m$‍‍ нам никто не позволит.

Наличие члена $m$‍‍ в формуле для энергии столь важно, что стоит поговорить о нём подробнее. Почему мы это слагаемое не замечаем? Почему до Эйнштейна никто не заметил таких запасов «под ногами», в миллионы и миллиарды раз превышавших все доступные тогда энергии? Не говорит ли это о том, что Эйнштейн неправ? Нет, не говорит. Всё дело в том, что мы замечаем не саму энергию, а её изменения. Перетечёт кинетическая энергия в потенциальную — мы это сразу заметим, потому что скорость упадёт. Перейдёт в тепловую — опять заметим: тело нагреется. А если энергия не меняется, как её заметишь? Скажем, Земля. Её кинетическая энергия огромна; мчится она вокруг Солнца со скоростью 30 км/с, масса её $6\cdot10^{27}~\text{г}$‍‍ — это потрясающий, превышающий наше воображение запас энергии. Но кто её замечает? В чём она проявляется? Надо ли её учитывать и вставлять в баланс превращений, происходящих с земными телами? Конечно, нет: она не меняется при таких превращениях, это мёртвый капитал; какой она входит в баланс, такой и выходит.

Такое же положение и с энергией $m$‍‍ она не меняется в механических, электрических, химических превращениях, она молчаливо присутствует в обеих частях уравнения баланса энергий, и никому от неё ни холодно, ни жарко. Вот если бы удалось найти какие-то силы, способные «отщипнуть» от $m$‍‍ хоть кусочек, то $m$‍‍ сразу дала бы о себе знать. Но сначала о таких силах ничего не знали. Хорошо уже то, что формула $$ E=m+\dfrac{mv^2}2 $$ подсказала, что стоит поискать такие силы. И их нашли через много лет, это были ядерные силы. В атомных электростанциях или судах такие силы занимаются тем, что отщипывают от $m$‍‍ мелкие части и переводят их в электрическую или механическую энергию.

В превращениях же элементарных частиц сходные по характеру, но несравненно бо́льшие по величине силы уже не отщипывают от массы покоя $m$‍‍ по кусочку. Их деятельность радикально перестраивает одни кирпичи материи в другие, порой ничем — ни свойствами, ни назначением — не схожие с первыми.

Но мы отвлеклись от своей прямой цели. Итак, мы знаем, как зависит масса тела от скорости: $$ M=\dfrac m{\sqrt{1-v^2}}. $$ Точно так же зависит от скорости и энергия тела: $$ E=M=\dfrac m{\sqrt{1-v^2}}. $$

Как же быть теперь с величиной $P=Mv$‍,‍ называемой импульсом тела? Может быть, её тоже нужно чем-то заменить? Оказывается, нет. Импульс по-прежнему даётся формулой $$ P=Mv, $$ но только $M$‍‍ теперь величина, зависящая от скорости. Значит, импульс, как и масса тела и его энергия, по мере ускорения тела может стать сколь угодно большим. И остаётся в силе утверждение Ньютона о том, что рост импульса под действием силы пропорционален величине самой силы и длительности её действия. Если сила будет действовать достаточно долго (и в нужную сторону), то импульс может достичь любой величины. Стало быть, формулу для импульса можно записать в трёх видах: $$ P=Mv,\quad P=Ev,\quad P=\dfrac{mv}{\sqrt{1-v^2}} $$ и пользоваться ими на выбор.

Вот в каком преобразованном виде надо брать энергию и импульс любого тела, если его скорость в какой-то мере сопоставима со скоростью света — единицей.

Здесь самое время предугадать вопросы, которые могут возникнуть у любознательного читателя. Вы можете спросить: как же теперь вычислять кинетическую энергию, если формула $T=\dfrac{mv^2}2$‍‍ оказывается при больших скоростях неправильной? Ответ: кинетической энергией частицы называют разность между полной энергией частицы, вычисляемой по формуле $E=\dfrac m{\sqrt{1-v^2}}$‍,‍ и энергией покоя $m$‍:‍ $$ \dfrac m{\sqrt{1-v^2}}-m $$ При малых $v$‍‍ числа, подсчитанные по этой формуле, почти не отличаются от получаемых по обычной формуле $\dfrac{mv^2}2$‍.‍

Ещё вопрос. Как масса может равняться энергии, если массу меряют в граммах, а энергию, например, в киловатт-часах?

Но после того, как нам было объяснено, что масса эквивалентна энергии, мы, зная, сколько в теле массы, знаем и его энергетические запасы. Теперь естественно выбрать такие единицы массы и энергии, чтобы эта эквивалентность была сразу видна. Разные единицы массы и энергии терпимы лишь там, где эта эквивалентность не важна, т. е. почти во всех явлениях земного масштаба. А там, где разница между энергией и массой — просто разница между двумя сторонами движения (в слове «энергия» оттеняется «запас творческих сил» частицы, в слове «масса» — её инерционные свойства, её неуступчивость, а одно без другого не бывает), там было бы грешно измерять их по-разному. И вот в микромире выбирают единицы измерения так, чтобы энергия частицы численно равнялась её массе.

А можно ли это сделать? Конечно. Если $E=M$‍‍ при $c=1$‍,‍ то естественно $E$‍‍ и $M$‍‍ измерять в одних и тех же единицах. Точно так же, если $P=Ev$‍,‍ а скорость частицы берётся по её отношению к скорости света, то и импульс $P$‍‍ можно измерять в тех же единицах. И пока превращения в микромире не затрагивают большого мира, этот договор — измерять энергию, импульс и массу одной и той же мерой — не приведёт ни к каким неудобствам. И даже совсем наоборот. Что же это за мера? Её называют электрон-вольт (эВ). Сначала это была только единица энергии и обозначала она энергию, какую приобретает электрон под действием напряжения в один вольт. Один миллиард электрон-вольт ($10^9~\text{эВ}$‍)‍ равен 1 гэВ. В этих единицах меряют и массу и импульс, но, конечно, не крупных тел, а мельчайших. Эта единица удобна тем, что массы и энергии частиц выражаются небольшими числами. Скажем, масса протона 0,94 гэВ, импульс, получаемый протоном на Дубненском большом ускорителе, 10 гэВ и т. д.

И последний вопрос. Правильно ли, что новая механика с новыми определениями массы, энергии, импульса нужна лишь в микромире, а нашему обычному миру она ни к чему? Нет, и у нас среди больших машин есть такие, которые нельзя рассчитывать по законам механики Ньютона. Это ускорители частиц. Их назначение — разгонять частицы, скажем протоны, до скоростей, близких к скорости света. При этом протон, в согласии с учением Эйнштейна, становится намного массивнее. Его масса с каждым оборотом в кольце ускорителя всё больше и больше растёт. И с каждым оборотом становится всё труднее удержать его в этом кольце. Силы магнитного поля уже не хватает, чтобы такую массивную частицу водить по кругу. Приходится к электромагниту подводить ток всё большей величины. К примеру, на большом Дубненском ускорителе, где скорость протона практически не отличается от скорости света, масса протона $M$‍‍ становится к концу периода ускорения равной 10 гэВ. А вначале она равнялась 0,94 гэВ. Значит, протон становится за 3 с (столько длится ускорение) более чем в 10 раз массивнее. Мощность, потребляемая большим электромагнитом ускорителя, к концу ускорения многократно увеличивается. Если вы хотите убедиться в справедливости формулы Эйнштейна, посмотрите на ваттметры распределительного щита, как возрастает в них реактивная нагрузка.

— Погодите, погодите! — воскликнет бдительный читатель. — Что же это выходит? На электростанции исчезает электроэнергия, в ускорителе возникают вдесятеро потяжелевшие протоны. Значит, по-вашему, энергия превратилась в массу?!

— А почему это вас так волнует?

— Потому, что это ошибочный философский тезис... да вы и сами сказали, что энергия и масса — это просто два разных оттенка одного и того же физического понятия.

— В физике — да. Но в обиходе увеличение энергии не означает увеличение массы. От нагревания чайник не становится тяжелее. Стало быть, в житейском смысле разница между энергией и массой огромна. И когда вдруг вы станете свидетелем того, как питание, поданное на вход ускорителя, оборачивается на выходе необычно грузными протонами, вы имеете право удивлённо сказать: «Электроэнергия перешла в массу протона!».

— Или в его энергию...

— Или в его энергию, если мы хотим подчеркнуть не «неуступчивость» протона, а его «запас сил», «творческую потенцию»... Мы обязаны привыкнуть к тому, что «неуступчивость» и «запас творческих сил» частицы — это синонимы. И когда мы к этому привыкнем, то у нас даже появится неистребимое желание изгнать одно из слов — «энергия» или «масса» — и обходиться только одним. В серьёзных современных книгах по физике так и пытаются делать. Но в нашей книге, где нехватку формул придётся возмещать словесной выразительностью, будем употреблять оба синонима: и энергия, и масса.

— А как же философы?

— Философы философам рознь. Зачем выискивать проблемы там, где их нет, зачем следить за употреблением слов, где истинный смысл не в словах, а в точных соотношениях...

Людей с практическим складом ума волнует другое: верно ли, что энергия, выделяемая в распаде элементарных частиц, намного превосходит ядерную энергию?

Да. Например, один из циклов ядерных реакций, дающих энергию звёздам, сводится к превращению четырёх протонов в ядро гелия. Их масса $0{,}94\cdot4=3{,}76~\text{гэВ}$‍,‍ а масса гелия $3{,}73~\text{гэВ}$‍,‍ следовательно, высвобождается $0{,}03~\text{гэВ}$‍‍ — меньше 1% всей энергии. А в распаде $\pi^\circ$‍‍-мезона на фотоны в энергию переходит вся масса мезона (100%).

— Значит, перед нами источник энергии мощнее термоядерной реакции?

— Отнюдь нет. Помехой служит редкость и неустойчивость таких мезонов. Даже близ ускорителя их по крайней мере в $10^{19}$‍‍ раз меньше, чем протонов. К тому же они мгновенно гибнут; накопить их нельзя. А главное, их надо создать, затратив на это энергию, как раз равную той, что выделится в их распаде; протоны же всегда есть готовые — это ядра водорода. В термоядерной реакции мы транжирим запасы энергии, накопленные природой; распады $\pi^\circ$‍‍-мезонов в лучшем случае лишь вернут нам энергию, затраченную на их создание.

— Тогда какой же от них толк?

— Толк от мезонов, гиперонов и т. п. в другом: они дают разгадку устройства мира...

Задачи

1. Вычислите импульс протона в $\text{мэВ}/c$‍,‍ где $c$‍‍ — скорость света, если известно, что кинетическая энергия протона равна 500 мэВ.
2. Вычислите ускорение электрона, движущегося в ускорителе вдоль линий напряжённости однородного электрического поля с $E=25~\text{кВ/см}$‍,‍ в тот момент, когда его кинетическая энергия $T=\dfrac12m_0c^2$‍,‍ где $m_0$‍‍ — масса покоя электрона.
3. Какая масса водорода переводится в энергию при взрыве 20-мегатонной водородной бомбы? Эквивалент тринитротолуола равен $10^3~\text{кал/г}$‍.‍
4. Сколько массы излучает 100-ваттная электрическая лампочка (в виде тепла и света) в течение года?
5. Как определить массу покоя системы движущихся частиц? Равна ли она сумме масс покоящихся частиц?
6. Сколько времени должен ехать человек на велосипеде, чтобы потерять 1 кг массы за счёт её превращения в энергию? Когда человек изо всех сил крутит педали велосипеда, он производит 0,5 лошадиной силы полезной мощности (373 Вт). К. п. д. человеческого организма около 25%, т. е. 75% пищи сгорает, превращаясь в теплоту, и лишь 25% пищи переходит в полезную работу.
7. Сколько массы получает Земля от Солнца в форме света в течение года, если на квадратный метр поверхности, перпендикулярной к направлению солнечных лучей, приходится $1{,}4~\text{кВт}$‍‍ световой энергии?
8. Чему равен импульс фотона? Покажите, исходя из законов сохранения энергии и импульса, что свободный электрон не может поглотить фотон.