Колмогоров А. Н.

Паркеты из правильных многоугольниковКолмогоров А. Н. Паркеты из правильных многоугольников // Квант. — 1970. — № 3. — С. 24‍—‍27.‍‍

 

ЧТО ТАКОЕ ПАРКЕТ

Самый простой, но и самый скучный паркет получается, если плоскость разбить на равные квадраты так, как показано на рисунке 1, а. Здесь два квадрата имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Паркетом будем называть такое покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

Вероятно, вам случалось видеть паркет, составленный из правильных восьмиугольников и квадратов (рис. 2, а). Красивый паркет можно составить из правильных шестиугольников, квадратов и равносторонних треугольников (рис. 2, б).

Паркет производит приятное впечатление, если он достаточно симметричен. Фигура называется симметричной, если ее можно наложить на саму себя «не тривиальным» способом (т. е. не таким, когда все точки останутся на своем месте).

 

Например, на рис. 2, б, повернув всю сетку вершин и сторон, образующих паркет из шестиугольников, квадратов и треугольников, на $60^\circ$‍‍ вокруг центра одного из шестиугольников, мы получим ту же самую сетку вершин и сторон. Центр каждого шестиугольника этого паркета является «центром симметрии шестого порядка»‍.

Задача 1. Найдите все центры симметрии 4-го, 3-го и 2-го порядка паркета, изображенного на рис. 2, а.

---

ЧТО ТАКОЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ПАРКЕТ

С точки зрения симметрии наше определение паркета не слишком удачно. Оно допускает паркеты, не обладающие никакой симметрией. Взяв обычный паркет из шестиугольников (рис. 1, в), можно «испортить» его, подразделив некоторые из шестиугольников на шесть треугольников. Легко понять, что получится вновь «паркет» в смысле нашего определения. Но можно доказать (попробуйте!), что, подразделив, например, три шестиугольника, как показано на рисунке 3, и оставив все остальные не подразделенными, мы получим паркет, совсем лишенный симметрии. Чтобы устранить некрасивые, недостаточно симметричные паркеты, мы введем такое определение:

Паркет называется правильным, если его можно наложить на самое себя так, что любая заданная его вершина находится на любую другую заданную его вершину.

Задача 2. Докажите, что паркеты, представленные на рисунках 1 и 2, правильны и построите самостоятельно возможно больше правильных паркетов.

 

---

ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА

Оказывается, что все разнообразие правильных паркетов можно описать. Если длина A стороны многоугольников паркета задана, то существует только конечное число различных (не накладывающихся друг на друга) правильных паркетов. Сколько именно, я не хочу вам говорить. Перечислить их все и тем самым ответить на вопрос об их числе — это и есть основная задача, которую вам предстоит решить.

---

НЕКОТОРЫЕ УКАЗАНИЯ

Решение задачи естественно начать с исследования устройства вершин паркета. Правильный $n$‍‍-угольник имеет $n$‍‍ внешних углов (рис. 4), сумма которых равна четырём прямым углам (убедитесь в этом сами). Поэтому каждый угол правильного $n$‍‍-угольника равен

$$\alpha_n = 2d - \frac{4d}{n} = 2\left(1 - \frac{2}{n}\right)d.$$

В вершине паркета должны сходиться многоугольники с суммой углов, равной $4d$‍.‍ Так,

$$\alpha_3 = \frac{2}{3}d, \quad \alpha_4 = d, \quad \alpha_6 = \frac{4}{3}d, \quad \alpha_8 = \frac{3}{2}d$$

и для паркетов, изображённых на рис. 1 и 2, имеем:

$$ 4\alpha_4 = 4d, \\ 6\alpha_3 = 4d, \\ 3\alpha_6 = 4d, \\ \alpha_4 + 2\alpha_5 = 4d, \\ \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6 = 4d. $$

В общем же случае, обозначая через $m_n$‍‍ число прилегающих к вершине $n$‍‍-угольников, мы должны получить

$$ \sum m_i \alpha_i = 4d, \tag{1} $$

где в сумму мы включаем слагаемые с теми номерами $i$‍,‍ для которых $m_i > 0$‍,‍ а $\alpha_i = 2\left(1 - \frac{2}{i}\right)d$‍.‍

Первая наша задача состоит в том, чтобы найти все решения уравнения $ \label{1} $‍‍ с целыми $m_i > 0$‍.‍ Уравнение $ \label{1} $‍,‍ сокращая на $2d$‍,‍ удобно записать в виде

$$ \sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2. \tag{2} $$ 

Для каждого решения уравнения $ \label{2} $‍‍ надо исследовать соответствующие расположения многоугольников, примыкающих к вершине. Например, решению $m_3 = 1$‍,‍ $m_4 = 2$‍,‍ $m_6 = 1$‍,‍

$$ \left( 1 - \frac{2}{3} \right) + 2 \left( 1 - \frac{2}{4} \right) + \left( 1 - \frac{2}{6} \right) = 2, $$

соответствуют вершины, в которых сходится один треугольник, два квадрата и один шестиугольник. Их легко расположить двумя существенно различными способами (рис. 5, а и б). Но легко показать (докажите!), что расположению б не соответствует никакого правильного паркета.

Указаний дано достаточно. Беритесь за работу!