Гастев Ю. А.

Выдающийся результат. Десятая проблема Гильберта решена!Гастев Ю. А. Выдающийся результат. Десятая проблема Гильберта решена! // Квант. — 1970. — № 3. — С. 14.‍‍

Этот номер «Кванта» уже подписывался в печать, когда математический мир облетела весть о выдающемся достижении советской и, пожалуй, мировой (!) математики: недавний выпускник Ленинградского университета двадцатилетний аспирант Юрий Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость знаменитой десятой проблемы Гильберта.

Ю. Матиясевич хотя и молод по возрасту, но в математике отнюдь не новичок.

Ещё на школьной скамье, став победителем международной математической олимпиады, он затем в студенческие годы получил весьма важные и интересные результаты в математической логике. Уже в следующем, 1968 году, им опубликованы три работы, в которых, по сути, началась «атака» 10-й проблемы Гильберта. И вот — результат, который уже буквально завтра войдёт в учебники. Кстати, в вышедшем лишь в прошлом году в издательстве «Наука» сборнике «Проблемы Гильберта» есть статья, посвящённая 10-й проблеме, в которой даже не упоминается, что десятая проблема Гильберта алгоритмически неразрешима.

Любопытно, что Юрий Матиясевич специалист не по теории чисел, к «ведомству» которой, казалось бы, относится проблема разрешимости диофантовых уравнений, а по математической логике. Он ученик Н. А. Шанина и С. Ю. Маслова — представителей «ленинградской школы» математической логики и теории алгоритмов, придерживающихся так называемого конструктивного направления в логике и математике, возглавляемого членом-корреспондентом Академии наук СССР А. А. Марковым.

«Биография» проблемы такова.

В 1900 году на Всемирном конгрессе математиков в Париже один из крупнейших математиков мира Давид Гильберт выделил двадцать три проблемы из различных областей математики, решение которых представило бы, по его мнению, особую важность для дальнейшего развития этой науки‍. К этим «проблемам Гильберта» с тех пор неизменно приковано внимание математиков всего мира. Часть их уже решена, часть упорно не поддаётся решению.

Проблема № 10 формулируется следующим образом: «Пусть задано уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми рациональными коэффициентами (т. е. уравнение вида $P(x_1,\ldots,x_n)=0$‍,‍ где $P$‍‍ — многочлен произвольной степени с целыми коэффициентами от неизвестных $x_1$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍);‍ требуется указать способ, по которому с помощью конечного числа операции можно было бы узнать, разрешимо уравнение в целых числах или нет (т. е. существует ли такой набор целых чисел $x_1^0$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n^0$‍,‍ что $P(x_1^0,\ldots,x_n^0)=0$‍)‍».

Несмотря на простоту и элементарность формулировки десятой проблемы, искомый «способ» (или, как говорят в современной математике, алгоритм никак не удавалось найти, что, естественно, наводило на мысль о том, что его просто-напросто не существует. После того, как в тридцатых годах нашего столетия понятие алгоритма получило точное математическое определение, стало возможным говорить о поисках такого отрицательного решения 10-й проблемы.

Поздравляя Ю. Матиясевича и его учителей с замечательным вкладом в науку, редакция «Кванта» предполагает в ближайшее время подробнее рассказать об этом выдающемся результате.