Леонидов Ф.

Что можно добавить к названию нашего журнала?Леонидов Ф. Что можно добавить к названию нашего журнала? : [реплика математика] // Квант. — 1970. — № 2. — С. 56‍—‍57.‍‍

Из статьи «История кванта», напечатанной в первом номере журнала, читатель узнал о важном понятии современной физики и о происхождении самого термина «квант». Любопытно отметить, что тому же латинскому корню обязан своим рождением другой термин — квантор, на этот раз математический. Так что ответ на вопрос, поставленный в заглавии, у математика не вызывает затруднений.

Термин «квантор» принадлежит одной из важнейших отраслей современной математики — математической логике — и вошёл в научный обиход примерно в то же время, что и «квант», т. е. в начале нашего столетия.

Попытаемся же вкратце пояснить значение этого термина и связанные с ним обозначения. Рассмотрим для примера такое равенство: $$ x^2=2^x\tag1 $$ и будем переменной $x$‍‍ придавать в качестве значений всевозможные натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. При этом окажется, что для одних натуральных значений $x$‍‍ равенство (1) будет верным (истинным), а для других — неверным (ложным). Так, ложно равенство $1^2=2^1$‍,‍ а равенство $4^2=2^4$‍‍ истинно.

В связи с нашим исходным равенством уместно рассмотреть два утверждения:

1. данное равенство удовлетворяется всеми (любыми) натуральными значениями $x$‍,‍
2. существуют натуральные значения $x$‍,‍ удовлетворяющие данному равенству.

В приведённом примере утверждение 1) следует признать ложным, а утверждение 2) — истинным.

Утверждение 1) обозначают в математической логике так: $$ \forall x~(x^2=2^x). $$

Символ $\forall$‍‍ читается для всех и называется квантором общности. А произошёл этот символ от английского слова All (что значит все), в котором оставили только первую букву (математики очень экономны), а потом ещё и перевернули её (математики весьма изобретательны).

Далее для утверждения 2) принято такое обозначение: $$ \exists x~(x^2=2^x). $$

Символ $\exists$‍‍ читается существует и называется квантором существования. Происхождение этого символа похоже: с английским словом Exist (что значит существовать) обошлись так же, как и со словом All.

Теперь, в новой сокращённой записи, получим $$ \begin{alignat*}{2} \forall x~(x^2=2^x)&=\textit{Л}&&\quad(\text{ложь}),\\ \exists x~(x^2=2^x)&=\textit{И}&&\quad(\text{истина}). \end{alignat*} $$

Обратимся к другому примеру, в котором исходным множеством будет множество всех взрослых людей — таким образом, в записанных ниже утверждениях разрешается вместо $x$‍‍ «подставлять» любого взрослого человека. В данном случае не без смущения придётся признать, что утверждение $$ \forall x~(x\text{ — честный человек}) $$ ложно, но зато несколько обнадёживает истинность утверждения $$ \exists x~(x\text{ — честный человек}). $$

Вот, пожалуй, и всё, что можно сказать на первый случай.

Происхождение термина квантор (латинское слово quantum означает «сколько») связано с тем, что в традиционной логике утверждения классифицируются по «количественному содержанию» — по тому, к скольким объектам они относятся. Например, «Петров — честный человек» — единичное суждение. «$\exists x$‍,‍ $x$‍‍ — честный человек» — частное суждение. «$\forall x$‍,‍ $x$‍‍ — честный человек» — всеобщее суждение.