Чульский А.

Размышления по дороге в школу. 1. ПешкомЧульский А. Размышления по дороге в школу. 1. Пешком // Квант. — 1970. — № 2. — С. 57.‍‍

1. Пешком

Сумма номеров домов на квартале (отрезке улицы между двумя перекрёстками) равна 33. Какие это номера?

Легко сообразить следующее:

1. Дома расположены на нечётной стороне, так как сумма чётных чисел всегда чётна.
2. Число домов на квартале нечётно, так как сумма чётного числа нечётных чисел также чётна.
3. Раз число домов нечётно, то есть средний дом. Пусть его номер $l$‍.‍ Соседние дома имеют номера $l + 2$‍‍ и $l - 2$‍,‍ соседние с ними $l + 4$‍‍ и $l - 4$‍‍ и т. д. Таким образом, сумма номеров равноудалённых от среднего равна $2l$‍‍ и, значит, двойная сумма номеров домов на квартале равна $2 l m$‍,‍ где $m$‍‍ — число домов. Значит, сумма номеров домов на квартале равна $l m$‍‍ и не является простым числом.

В нашем случае число 33 может быть разложено на два сомножителя двумя способами.

1. $ 33 = 3 \cdot 11 $‍,‍
2. $ 33 = 1 \cdot 33 $‍.‍

Ясно, что $ l \lt m $‍,‍ поскольку отрицательные номера домам не присваиваются. Значит, либо $l = 11$‍,‍ и квартал состоит из домов под номерами 9, 11, 13, либо $l = 33$‍,‍ и весь квартал состоит из одного дома номер 33.

Решите эту же задачу, если сумма номеров домов равна 333.

(Продолжение на стр. 59.)

---

Ответ

Три решения:

1. девять домов от № 29 до № 45;
2. три дома от № 109 до № 113;
3. один дом № 333.