Текст статьиФедин Н. Г. Развивайте пространственное воображение // Квант. — 1970. — № 11. — С. 54—58.
Скрещивающиеся прямые
1. Нарисуем две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$. На рисунке 1 дано
их изображение.
Рис. 1Рис. 2
Вы удивлены, что прямые изображены параллельными? Напрасно. Это верный
чертёж, хотя и не наглядный. Известно, что скрещивающиеся прямые $a$ и $b$
можно расположить в параллельных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ так, чтобы
прямая $a$ лежала в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ — в $\beta$, а затем
спроектировать их на плоскость $\gamma$, пересекающую плоскости $\alpha$ и $\beta$ (рис. 2). В этой плоскости мы и получим изображения $a_1$ и $b_1$ прямых $a$ и $b$.
2. Пусть даны две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ и точки $A_1$, $A_2$ на прямой $a$ и $B_1$, $B_2$ на прямой $b$ (рис. 3). Проведём прямые
$A_1B_1$ и $A_2B_2$.
Могут ли эти прямые пересекаться?.
Конечно, чертёж нас может подвести. Но если допустить, что прямые
$A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются, то получится, что четыре точки $A_1$,
$A_2$, $B_1$, $B_2$ лежат в одной плоскости, а следовательно, будут лежать в одной плоскости и исходные прямые, чего не может быть. Мы приходим к выводу,
что прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ не могут пересекаться.
Рис. 3Рис. 4
3. Имеет ли фигура, состоящая из двух скрещивающихся прямых, центр
симметрии?
Может показаться, что центр симметрии у двух скрещивающихся прямых
существует и совпадает с серединой $M$ их общего перпендикуляра
(рис. 4). Однако это не так. В самом деле, если бы центр симметрии у этих двух прямых был, то прямая $a$ при центральной симметрии перешла бы в параллельную прямую $b$, но $b$ не параллельна $a$. Следовательно,
скрещивающиеся прямые не могут иметь центра симметрии.
4. Имеют ли две скрещивающиеся прямые ось симметрии?
Этот вопрос значительно труднее вопроса о центре симметрии скрещивающихся
прямых. Оказывается, что две скрещивающиеся прямые имеют три оси симметрии:
$l_1$, $l_2$ и $l_3$. Одна из них является общим перпендикуляром к исходным
прямым $a$ и $b$. Две другие взаимно перпендикулярны, пересекаются в середине $M$ отрезка $KP$ и являются биссектрисами смежных углов,
образованных прямыми $a_1$ и $b_1$, соответственно параллельными $a$ и $b$
(рис. 4). Попытайтесь доказать этот факт самостоятельно.
Решение планиметрических задач стереометрическим способом
Обычно планиметрические задачи решаются на плоскости, а стереометрические
задачи связываются с изображением пространственной фигуры на плоском
чертеже. Такие приёмы решения задач или доказательства теорем никого не удивляют, они являются общепринятыми. А вот решение планиметрических задач
стереометрическим, пространственным, трёхмерным способом — это уже необычно
и любопытно. Конечно, решаются этим методом далеко не все задачи, а только
задачи определённого типа.
5. На плоскости даны три луча, исходящие из одной точки
(рис. 5, а) и делящие плоскость на три угла, каждый из которых меньше $180^\circ$. В каждом из трёх углов дано по одной точке:
$A_1$, $B_1$ и $C_1$ — так, что эти точки не лежат на одной прямой.
Требуется построить треугольник $ABC$, вершины которого лежат на данных
лучах, а стороны проходят через данные точки.
Рис. 5, а, б
Решить эту задачу планиметрическим путём трудно, однако стереометрически
она решается довольно легко. Представим себе (рис. 5, б),
что лучи образуют в пространстве рёбра трёхгранного угла с вершиной в точке
$O$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, представим себе расположенными в гранях
трёхгранного угла. Эти точки определяют некоторую плоскость. Обозначим эту плоскость через $\beta$; она пересечёт грани трёхгранного угла по искомым
сторонам $BC$, $CA$ и $AB$. Осталось построить линии пересечения плоскостей
граней трёхгранного угла с плоскостью $\beta$.
Для этого спроектируем данные точки на плоскость $xOy$ параллельно $Oz$.
Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ перейдут соответственно в точки $A_0$, $B_0$,
$C_1$ (точка $C_1$ останется на месте).
Таким образом, мы свели задачу к проекционной, что в школе часто называют
задачей на сечение многогранного угла плоскостью. Находим точку $x_0$
пересечения прямой $A_1B_1$, с плоскостью $xOy$, это будет точка пересечения
прямых $A_1B_1$ и $A_0B_0$. Точки $x_0$ и $C_1$ лежат и в плоскости $\beta$,
и в плоскости $xOy$, следовательно, секущая плоскость $\beta$ пересечёт
плоскость $xOy$ по прямой $x_0C_1$.
Затем найдём точки пересечения прямой $x_0C_1$ с лучами (рёбрами) $Ox$,
$Oy$, получим точки $A$ и $B$. Проводя $BA_1$ и $AB_1$, получим в пересечении с осью (лучом $Oz$) третью точку — вершину $C$ искомого
треугольника $ABC$. Пространственное представление помогло нам найти идею
решения планиметрической задачи.
6. На плоскости даны два треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ такие, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $S$, а прямые $AB$
и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $AC$ и $A_1C_1$ пересекаются в точках $x$, $y$
и $z$. Доказать, что точки $x$, $y$ и $z$ лежат на одной прямой $l$.
Эта задача известна в геометрии под названием теоремы Дезарга.
Рис. 6
Вот идея её доказательства. Представим себе, что точка $S$ является
вершиной пирамиды с основанием $ABC$ и секущей плоскостью $A_1B_1C_1$
(рис. 6). Тогда прямые $AB$, $BC$ и $AC$ лежат в плоскости $ABC$, а прямые $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $A_1C_1$ лежат в плоскости $A_1B_1C_1$. Поэтому
точки $x$, $y$, $z$ лежат и в плоскости треугольника $ABC$, и в плоскости
треугольника $A_1B_1C_1$, т. е. они расположены на линии пересечения этих
плоскостей, на прямой $l$.
Условие, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $S$, использовано вот в каком месте: прямые $AB$ и $A_1B_1$ (и
другие) не скрещиваются в пространстве, а пересекаются в точке $x$. В дальнейших рассуждениях участвуют только плоскости треугольников, о пирамиде
можно забыть.
Интересно, справедлива ли эта теорема для четырёхугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, у которых прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и $DD_1$
пересекаются в одной точке $S$? Будут ли при этом условии четыре точки
пересечения продолжений сторон $AB$ и $A_1B_1$, $BC$ и $B_1C_1$, $CD$ и $C_1D_1$, $DA$ и $D_1A_1$ лежать на одной прямой? Вообще говоря, это не так.
Для двух четырёхугольников аналогичная теорема будет верна при некоторых
дополнительных условиях.
Постарайтесь самостоятельно найти эти условия.
Указание. Рассмотрите прямую, соединяющую точки пересечения
диагоналей четырёхугольников.
Интересно, что в условиях задач не фигурировали ни длина отрезков, ни величина углов. В этих задачах речь шла только о точках пересечения прямых и плоскостей, о принадлежности точек прямым. Планиметрическую фигуру мы рассматривали как проекцию некоторой пространственной фигуры на плоскость.
Такой метод проекции или проектирования характерен для особой ветви
геометрии, которая называется проективной геометрией.
Пересечение и изображение фигур
Рассмотрим несколько задач.
7. Дана треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$. На продолжениях рёбер
$CA$ и $CB$ взяты точки $K$ и $P$ такие, что $AC=2AK$ и $BC=2BP$; $M$ —
середина ребра $CD$. Через точки $K$, $P$, $M$ проведена секущая плоскость.
В каком отношении эта плоскость разделит объём пирамиды?
Рис. 7
Для решения задачи посмотрим, что представляет собой сечение пирамиды
плоскостью $KPM$, т. е. плоскостью, определяемой тремя точками $K$, $M$ и $P$ (рис. 7).
Треугольники $ABC$ и $KCP$ подобны, следовательно, $KP\parallel AB$.
Тогда $KP$ параллельна плоскости $ABD$, $KP=\dfrac32AB$. Секущая плоскость
пересечёт грань $ABD$ по отрезку $A_1B_1$, параллельному $KP$, а следовательно, параллельному и $AB$. Проведём среднюю линию $ME$
треугольника $BCD$, $CE=EB=BP$, $ME\parallel BD$. Замечаем, что $BB_1$ —
средняя линия треугольника $MPE$, откуда $BD=2ME=4BB_1$, следовательно,
$A_1B_1=\dfrac34AB$ (треугольники $ABD$ и $A_1B_1D$ подобны). Площади
подобных фигур относятся, как квадраты сходственных сторон, поэтому
$$
S_{\triangle A_1B_1D_1}=\dfrac9{16}S_{\triangle ABD}.
$$
Пусть $V$ — объём пирамиды $ABCD$. При вычислении объёма $V_1$ пирамиды
$A_1B_1MD$ целесообразно за её основание принять грань $A_1B_1D$. Тогда
высота $H_M$ будет составлять половину высоты $H_C$, так как $M$ — середина
отрезка $CD$. Имеем:
$$
V_1=\dfrac13S_{\triangle A_1B_1D}H_M=\dfrac13\cdot\dfrac9{16}
S_{\triangle ABD}\dfrac{H_C}2=\dfrac9{32}\left(\dfrac13S_{\triangle ABD}
H_C\right)=\dfrac9{32}V.
$$
Объём нижней части пирамиды $V_2$ будет составлять $\dfrac{23}{32}$ от объёма пирамиды $ABCD$. Теперь находим отношение объёмов верхней и нижней
частей пирамиды: $V_1:V_2=9:23$.
Рис. 8
8. На плоскости стола расположены четыре шара радиуса $R$, касающиеся
друг друга (центры шаров образуют квадрат). Затем в «ямку», образованную
этими шарами, положен пятый шар того же радиуса. Найти расстояние от верхней
точки пятого шара до плоскости стола.
Изобразив центры шаров и обозначив их $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$, $O_5$
(рис. 8), нетрудно найти искомое расстояние $NP$ как сумму длин
отрезков $NO_5+O_5O+OP$, оно будет равно $2R+O_5O$. Отрезок $O_5O$ — высота
правильной пирамиды, у которой все рёбра равны $2R$ — расстоянию между
центрами шаров.
В заключение предлагаем вам самостоятельно решить несколько задач.
Упражнения
На плоскости стола расположены три шара, касающиеся друг друга и имеющие
радиус $R$. Затем в «ямку», образованную этими шарами, положен четвёртый шар того же радиуса. Найти расстояние от верхней точки четвёртого шара до плоскости стола.
Дан усечённый конус с осью $OO_1=h$ и радиусами оснований $r$ и $R$. На окружностях оснований берутся всевозможные точки $A$ и $B$ такие, что $A$ и $B$ лежат на разных окружностях и $OO_1$ и $AB$ — скрещивающиеся отрезки.
Найти границы изменения расстояния между $OO_1$ и $AB$.
Вершина $S$ правильной треугольной пирамиды $ABCS$ перемещается по высоте $OS$ в бесконечность, а затем по высоте приближается к плоскости
основания. В каких границах будет изменяться линейный угол двугранного угла
при ребре $AS$?
