Смородинский Я. А.

Рассказ о квантеСмородинский Я. А. Рассказ о кванте // Квант. — 1970. — № 1. — С. 6‍—‍15.‍‍

4 картинки  

В статье речь идёт об очень сложном и вместе с тем фундаментальном понятии, играющем огромную роль в современной физике. Именно поэтому статья несколько трудна для понимания. Но не рассказать в первом номере журнала о кванте как физическом понятии мы не могли, так как наш журнал называется «Квант».

Две самые короткие формулы современной физики

Современная квантовая физика родилась 14 декабря 1900 года. В этот день на заседании Берлинского физического общества выступил с докладом Макс Планк. В его докладе впервые появилась новая мировая постоянная, обозначенная буквой $h$‍‍ и названная элементарным квантом действия. Элементарным она была названа потому, что определяла самую малую энергию, которую может нести с собой электромагнитное излучение.

Слово квант происходит от латинского слова quantum, означающего «столько» (например, quantum placet означает «столько, сколько хочется»). А называют теперь постоянной Планка, и её наиболее точное значение равно: $$ h=6{,}6262\cdot10^{-34}\text{ Дж}\cdot\text{с}\quad \text{(система СИ)}, $$ или $$ h=6{,}6262\cdot10^{-27}\text{ эрг}\cdot\text{с}\quad \text{(система СГС)}. $$

Вместо $h$‍‍ физики чаще пользуются другой величиной, которая в $2\pi$‍‍ раз меньше. Её также называют постоянной Планка и обозначают $$ \dfrac h{2\pi}=\hbar=1{,}05459\cdot 10^{-34}\text{ Дж}\cdot\text{с}. $$

Формула Планка записывается так: $$ E = h\nu.$$ Здесь $E$‍‍ — наименьшая порция света (или радиоволн, или рентгеновских лучей, или любого другого электромагнитного излучения), которую может испустить или поглотить атом, молекула или кристалл при заданной частоте излучения $\nu$‍.‍ Для видимого света частота определяет «цвет» света. Синему цвету соответствует бо́льшая частота, красному — меньшая. Частота колебаний излучения связана с длиной волны $\lambda$‍‍ соотношением $$ \nu=\dfrac c\lambda, $$ где $c$‍‍ — скорость света, которая в пустоте равна $3\cdot 10^8\text{ м/с}$‍‍ (точнее $299792{,}5\text{ км/с}$‍).‍ Таким образом, постоянная Планка связывает наименьшую энергию излучения с его частотой, показывая, что отношение $E$‍‍ к $\nu$‍‍ есть всегда величина постоянная.

Формула Планка вместе с формулой Эйнштейна, связывающей массу и энергию: $E=mc^2$‍,‍ — две самые короткие и самые знаменитые формулы современной физики.

Попробуем понять, что привело Планка к необходимости квантовой гипотезы и почему формула Планка оказалась столь важной.

С чего всё началось?

Если пропустить свет через призму, то на экране, поставленном за ней, возникнет разноцветный спектр. (Его впервые наблюдал Ньютон.) Позже узнали, что спектр даёт не только солнечный свет, но и излучение от любого нагретого тела. Чем выше температура тела, тем больше в спектре синих лучей. Не очень нагретое тело (градусов до $500\text{ C}$‍)‍ — красного цвета, сильно нагретое (градусов до $1000\text{ C}$‍)‍ — белого. Постепенно перед исследователями встали два вопроса: как зависит спектр тела от его температуры и как распределяется энергия вдоль спектра?

Если к разным местам спектра приложить термометры, то можно измерить, какая доля энергии приходится на каждый участок спектра. Ещё лучше взять не термометры, а прямо калориметры. Измеренные количества тепла, которые падают, скажем, на полоску спектра шириной в $1\text{ см}$‍,‍ и будут теми величинами, которые нам нужны. Геометрическая длина спектра зависит от расстояния до экрана, поэтому обычно измеряют энергию, упавшую не на $1\text{ см}$‍,‍ а на участок спектра, соответствующий определённой частоте излучения $\nu$‍‍ или определённой длине волны $\lambda$‍.‍

Отношение величины энергии, сосредоточенной в узкой полоске спектра на участке частот в промежутке от $\nu$‍‍ до $\nu+\Delta\nu $‍,‍ к $\Delta\nu$‍‍ называют спектральной плотностью энергии или просто спектральной функцией и обозначают $f(\nu)$‍.‍

Какой вид имеет спектральная функция $f(\nu)$‍?‍ Ясно, что она зависит от температуры тела. Вообще говоря, $f(\nu)$‍‍ разная и у разных тел. Kaк же определить вид спектральной функции? Это была трудная задача, и чтобы рассказать о том, как она решалась, придётся начать издалека. Но сначала ещё несколько слов о спектральной функции.

Картинка спектра

Спектральная функция

Спектральная функция $f(\nu)$‍‍ — это, вероятно, самое трудное, что нужно понять в этой статье. Спектр, который мы видим на экране, тянется непрерывной полоской, и в нём представлены все частоты. Не имеет смысла спрашивать, какую энергию можно сопоставить в спектре точно данной частоте $\nu$‍.‍ Когда из источника течёт вода, нельзя спросить, сколько воды вытечет в какой-то определённый момент времени, например, ровно в 12 часов дня. Точно в этот момент вытекает объ м воды, равный нулю. Для того чтобы вытекло какое-то количество воды, надо чтобы прошёл хотя бы небольшой промежуток времени. Можно спросить, сколько воды вытечет за время от 12.00 до 12.01. Можно спросить, сколько вытечет воды за любой интервал времени $\Delta t$‍‍ от 12 часов до $\text{12 часов}+\Delta t\text{ минут}$‍.‍ Если вода течёт более или менее равномерно и за 1 минуту вытекает $g\text{ см}^3$‍‍ воды, то за время $\Delta t$‍‍ вытечет $g(t)\,\Delta t\text{ см}^3$‍.‍

Мы написали не $g$‍,‍ а $g(t)$‍,‍ так как в разное время (в час дня, в два часа дня и т. д.) вода может течь по-разному. Это, например, означает, что количество воды, вытекающее за 1 минуту в 12.15 дня, и количество воды, вытекающее за 1 минуту в 12.30, относятся как $g(15):g(30)$‍,‍ если за начало отсчёта времени взять полдень — 12.00.

При подсчёте количества воды мы сталкиваемся с новой величиной, которая описывает интенсивность нeпрерывного процесса. $g$‍‍ есть отношение количества воды, вытекающего за интервал времени $\Delta t$‍,‍ к этому интервалу, когда он взят очень маленьким.

Спектральная функция имеет аналогичный смысл; она определяет отношение количества энергии в полоске спектра к ширине этой полоски, когда ширина полоски взята очень маленькой. Ширина при этом измеряется, как было уже сказано, не в длинах, а в частотах.

Частицы или волны?

С самого начала механика встpeчалась с задачами, которые можно было разбить на два совершенно разных класса. Движение материальных точек и твёрдых тел описывалось уравнениями Ньютона. Из этих уравнений можно было определять траектории движения тел, например, планет солнечной системы, и описывать, как происходит движение вдоль траекторий. Но были и другие объекты. Движение воды в каналах, распространение звука в воздухе, изгиб железной балки — все эти задачи относились к механике сплошных сред, и ими занимались гидродинамика, аэродинамика, теория упругости и другие разделы механики.

Сплошная среда и система материальных точек представлялись совершенно разными физическими объектами. Если даже, решая задачу о течении воды, и выделяли мысленно небольшой объём жидкости, то этот объём никак не связывали с молекулами жидкости (о молекулах вообще узнали через много лет после того, как были написаны уравнения гидродинамики).

Волны в воде или в воздухе (например, те, которые называют звуком) и планета, движущаяся вокруг Солнца, имели, казалось, мало общего. Всё было ясно, вот только в оптике оставался нерешённым вопрос: что такое свет? Поток мельчайших частиц, как это думал Ньютон — сторонник корпускулярной теории, или это волны в какой-то среде — мировом эфире, как думал Гюйгенс — создатель волновой оптики? Популярность каждой из теорий в разное время была различной, но никто не мог найти решающего аргумента в пользу одной из них: свет в одних явлениях вёл себя, как поток корпускул, в других — как волны. Сейчас мы хорошо знаем, что в этом нет противоречия — поверить в это стало возможным лишь благодаря квантовой теории. В прошлом же веке противоречие казалось неразрешимым. Свет должен был быть либо волной, либо частицей. Это утверждение выглядело логически безупречным.

Степени свободы

Разница между системой материальных частиц и сплошной средой выступает очень чётко, если посмотреть, каким числом координат задаётся состояние системы.

Положение каждой точки в пространстве задаётся тремя числами — тремя координатами. Говорят, что материальная точка имеет три степени свободы. Если в систему входит $N$‍‍ материальных точек, то говорят, что она имеет $3N$‍‍ степеней свободы.

Такое же рассуждение можно провести и для скоростей. Скорость одной точки описывается тремя числами — тремя компонентами вектора скорости. Скорости $N$‍‍ точек требуют для своего описания $3N$‍‍ чисел.

Сколько чисел надо задать, чтобы описать состояние поверхности моря? Строго говоря, для каждой точки поверхности надо задать три числа — вектор скорости воды в данной точке; следовательно, чисел будет бесконечно много. Поверхность моря представляется нам как система с бесконечно большим числом степеней свободы. Даже тот факт, что вода состоит из молекул, а потому число степеней свободы можно определить, сосчитав молекулы, не облегчает задачу: молекул настолько много, что практически число степеней свободы остаётся бесконечно большим. В действительности же нас не интересует движение каждой молекулы. Когда по морю бегут волны, например, от идущего корабля, то мы можем описать картину распределения волн, используя сравнительно немного чисел. Мы можем задавать величину амплитуды и фазы каждой волны; волн хотя и много, но всё же меньше, чем молекул. Кроме того, картина, в основном, повторяется со временем: волны более или менее одинаковые.

В каждой волне движется много молекул, движение носит коллективный характер, и мы можем говорить о коллективных степенях свободы на поверхности моря, в отличие от индивидуальных степеней свободы, скажем, отдельной молекулы воды.

Такое же коллективное описание можно использовать, рассказывая о свойствах света. В частности, мы так и делаем, когда пытаемся описать распределение энергии по спектру.

Свет — волновой процесс, и его описание проще всего выглядит с позиций волновой теории. Конечно, подобное описание света совсем непохоже на описание системы точек. Здесь нет даже намёка на какие-то степени свободы — волны и частицы совсем непохожи друг на друга. Но это всё-таки не совсем так. У волн и частиц есть общие свойства. Это, прежде всего, те, которые проявляются, когда мы начинаем изучать тепловые явления и думать, как распределяется между волнами и частицами тепловая энергия.

Температура и теплоёмкость

Рассмотрим газ, находящийся в нагретом сосуде. Мы знаем, что температура газа и стенок сосуда должна быть одинаковой. Если это вначале было не так, то тепло будет до тех пор перетекать от более тёплого тела к более холодному, пока температуры не станут равными, т. е. пока не установится тепловое равновесие между стенками сосуда и находящимся в нём газом.

Температура газа связана с кинетической энергией его атомов (мы будем для простоты говорить об одноатомном газе). Один из самых первых выводов кинетической теории газа состоял в том, что каждый атом газа обладает энергией $\dfrac{3}{2}kT$‍,‍ по $\dfrac{1}{2}kT$‍‍ на каждую степень свободы, а полная энергия газа равна $\dfrac{3}{2}NkT$‍,‍ где $N$‍‍ — число частиц в газе ($3N$‍‍ — полное число степеней свободы). Здесь $k$‍‍ — постоянная Больцмана ($k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}\text{ Дж/K}$‍);‍ она играет роль переводного коэффициента от градусов на шкале Кельвина к джоулям. Дальше в кинетической теории газов показывалось, что если есть колебания, то на каждую колебательную степень свободы приходится энергия $kT$‍,‍ вдвое большая, чем на степень свободы, отвечающую поступательному движению. Эти утверждения, доказанные и проверенные, относились к газу. Естественно, возник вопрос: а что можно сказать об энергии излучения?

Представим себе, что у нас есть сосуд (как говорили раньше «полость»), в котором нет газа. Однако в таком сосуде всегда будет электромагнитное поле. Электромагнитные волны излучаются и поглощаются стенками, и эта энергия как-то будет распределена по спектру. Если стенки сосуда имеют какую-то фиксированную температуру, то распределение энергии будет, очевидно, различным при разных температурах. Мы можем изучить поле внутри сосуда, сделав в нём маленькое отверстие и выпустив пучок света.

Когда впервые начали обсуждать свойства такой «полости», то заметили, что если свет снаружи попадает в отверстие, то он, очень много раз отразившись от стенок и «заблудившись», почти не будет иметь шансов выйти наружу. Отверстие поглощает весь падающий на него свет, поэтому тело и назвали «чёрным», а свет, который выходит из отверстия, назвали «излучением чёрного тела» (так что «чёрное тело» светится!).

Представьте теперь, что «чёрное тело» нагревают. Тогда можно задать вопрос: какое количество тепловой энергии перейдёт в свет? Ответ на него был дан в конце XIX века и состоял в том, что свет, заключённый внутри «чёрного тела», должен находиться в тепловом равновесии со стенками сосуда. Это равновесие устанавливается и поддерживается процессами излучения и поглощения световых волн нагретыми стенками (сколько излучают, столько же поглощают обратно), а количество энергии и её спектральная плотность полностью определяются только одним параметром — температурой. Никакого разговора о числе степеней свободы (как это было в случае газа) здесь как будто и не возникает.

Картинка   Картинка  

Если в сосуде, в котором установилось тепловое равновесие, есть маленькое отверстие, то световые волны будут выходить из него. Количество энергии, выходящее из отверстия «чёрного тела», определяется законом Стефана‍—‍Больцмана. Согласно этому закону количество энергии, излучённое «чёрным телом» с единицы поверхности отверстия, пропорционально четвёртой степени абсолютной температуры и не зависит от природы тела: $\varepsilon=\sigma T^4$‍‍ (постоянная Стефана‍—‍Больцмана $\sigma=5{,}67\cdot 10^{-12}~\dfrac{\text{Дж}}{\text{см}^2 \cdot \text{с} \cdot \text{K}}$‍).‍

Закон Стефана‍—‍Больцмана был хорошо проверен экспериментально. Опыты подтвердили, что к излучению можно применять те же понятия — энергия, температура, которые используются при описании тепловых свойств газа в кинетической теории.

Формула Вина и формула Релея‍—‍Джинса

Теперь пора вернуться к вопросу, который был поставлен в начале статьи: как получить из теории спектральную функцию, которая описывает распределение энергии излучения по спектру, и как она зависит от температуры?

Прежде всего этот вопрос попробовали решить по аналогии, но аналогия с газом не помогла. Число степеней свободы светового потока, как их ни считай, бесконечно велико, и если на каждую степень свободы выделить по одинаковой порции энергии, скажем, по $kT$‍‍ (световым волнам разумно сопоставить колебательные степени), то общая энергия будет бесконечной при любой конечной температуре. Рассуждение «по аналогии» приводит нас к абсурдному выводу, что вся тепловая энергия стенок (а за ними и всего остального) должна перейти в электромагнитные волны, так что температура всех предметов должна стремиться к абсолютному нулю. Если это было бы так, то любой предмет в комнате излучал бы свет (видимый или невидимый). Но мы знаем, что этого не случается.

Точные физические измерения говорят, что при каждой температуре тело излучает волны в сравнительно узком интервале спектра. Максимальная энергия излучения сосредоточена вблизи длины волны, которая определяется так называемым законом Вина: $$ \lambda_{\max}=\dfrac{a}{T}. $$

Этот закон был открыт в 1893 году. Постоянная Вина $a=0{,}29 \cdot 10^{-2} ~\text{м} \cdot \text{K}$‍‍ была определена из опыта, но её происхождение оставалось неясным. Мы увидим дальше, что она связана с постоянной Планка (так же, как и постоянная Стефана‍—‍Больцмана).

Закон Вина показывает, что с нагреванием тела максимум спектра смещается в сторону меньших длин волн, т. е. в сторону больших частот (этот закон часто так и называют законом смещения).

Итак, закон Стефана‍—‍Больцмана говорит о полной энергии излучения, а закон Вина — о положении максимума в спектре. Другими словами, известно, где спектральная кривая имеет максимум и какова площадь под кривой. Настала очередь обсудить более подробно форму этой кривой.

К началу XX века существовали две формулы, с помощью которых пытались описать форму кривой распределения энергии по спектру. Одну из них предложили два англичанина — это формула Релея‍—‍Джинса‍ $$f(\nu)=\dfrac{8\pi \nu^2}{c^3} kT.$$ Сравнение с опытом показало, что формула Релея‍—‍Джинса правильно описывает спектр только для самых малых частот (слева от максимума кривой).

Если посмотреть на эту формулу с точки зрения числа степеней свободы, то можно дать ей красивое объяснение. Формула Рэлея‍—‍Джинса имеет такой вид, как будто участок спектра $\Delta\nu$‍‍ содержит $\dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}$‍‍ степеней свободы, на каждую из которых приходится тепловая энергия $kT$‍.‍ Однако эта эффектная интерпретация порочна. Число степеннй свободы быстро растёт, если переходить ко всё бо́льшим частотам в ультрафиолетовую часть спектра (направо от максимума кривой). Это значит, что чем больше частота, тем больше энергии содержит спектр. Т. е. и по этой формуле все тела должны излучать электромагнитные волны с бесконечно большой частотой.

Этот странный вывод носил драматическое название «ультрафиолетовой катастрофы», так как демонстрировал полный провал попыток объяснить свойства спектра, оставаясь в рамках понятий классической физики.

Другую формулу предложил уже известный нам Вин в 1890 году‍: $$ f(\nu)=A\nu^3e^{-\frac{b\nu}T}. $$ (Правда, он писал эту формулу несколько иначе, выражая частоту через длину волны.) В формуле Вина $A$‍‍ и $b$‍‍ — некоторые постоянные, связанные, как мы это увидим в дальнейшем, с постоянной Планка. Формула Вина описывала ультрафиолетовую часть спектра, но была беспомощна, когда речь заходила о длинноволновой его части.

Итак, перед работами Планка физики знали уже довольно много: площадь под кривой распределения энергии по спектру, положение максимума и форму кривой в «начале» и в «конце». Оставалось сделать последний смелый шаг. Он-то и привёл к рождению новой физики.

Формула Планка

Сейчас трудно восстанавливать ход мыслей физиков, живших много лет тому назад. По-видимому, Планк просто искал какую-нибудь формулу, которая объединила бы вместе всё, что было известно о спектре «чёрного тела». Пробуя разные подходы, он в конце концов пришёл к выводу, что надо рассматривать свойства атомов, из которых состоит стенка и которые излучают свет. Гипотеза Планка состояла в том, что излучающие атомы могут иметь не любую энергию, а только энергию, равную целому числу $h\nu$‍,‍ где $\nu$‍‍ — частота колебаний атома. Отсюда уже получилось, что атом может излучать свет только квантами (хотя эту связь фактически поняли несколько позже).

Планк записал свою формулу так: $f(\nu)=n(\nu)\cdot h\nu$‍,‍ где $n(\nu)$‍‍ — число квантов, равное $\dfrac{8\pi\nu^2}{c^3}\,\dfrac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$‍,‍ а $h\nu$‍‍ — энергия кванта. Последняя формула может показаться не совсем точной, так как из неё $n(\nu)$‍‍ получается не целым. В этом ничего страшного нет, так как формула даёт среднее число квантов. Например, если в каком-то объёме половину времени есть один квант, а половину времени квантов нет совсем, то среднее число квантов равно $\dfrac12$‍!‍

Формула Планка отличается от формулы Релея‍—‍Джинса тем, что её нельзя объяснить с точки зрения степеней свободы. Если считать, что каждый квант имеет три степени свободы, то число степеней свободы системы, равное $3n(\nu)$‍,‍ оказывается функцией температуры: число степеней свободы растёт с повышением температуры. Вывод абсурдный с точки зрения старых представлений о свойствах частиц. Но именно в этом нарушении привычной логики и лежал выход из тупика. Ведь количество излучающих частиц может и не быть строго определённым числом; оно может изменяться с изменением условий. Это особенно стало ясно, когда было открыто рождение пар: электрон‍—‍позитрон, протон‍—‍антипротон и т. д.