Раббот Ж. М.

Заочная математическая школаРаббот Ж. М. Заочная математическая школа // Квант. — 1970. — № 1. — С. 55‍—‍57.‍‍

Вероятно, в Советском Союзе нет большей школы, чем эта: ведь в ней учатся около десяти тысяч человек, живущих в разных городах и сёлах страны. Речь идёт о заочной математической школе (ЗМШ) при механико-математическом факультете МГУ.

Она организована на базе Московской средней математической школы № 2 в 1964 г. по инициативе известного советского математика члена-корреспондента АН СССР И. М. Гельфанда, который возглавляет Haучный совет школы. Основная её цель — помочь школьникам глубже овладеть школьной программой по математике, развить их способности, научить работать с книгой.

Раз в месяц ученики школы получают задания — брошюры, в которых изложены некоторые разделы математики, примыкающие к школьной программе, и содержится много интересных задач‍. Самостоятельно изучив брошюру, школьник выполняет контрольное задание и присылает его в ЗМШ. Около 500 преподавателей, студентов и аспирантов МГУ проверяют и рецензируют эти работы.

ЗМШ не ставит специальной целью подготовку учащихся в вузы, но наряду с обычными заданиями ученикам ЗМШ высылаются и материалы для подготовки к вступительным экзаменам. Почти все выпускники ЗМШ после окончания школы успешно сдают вступительные экзамены по математике в различные вузы. Многие из них выбирают математику своей профессией. Например, четверть всех студентов второго курса механико-математического факультета МГУ — недавние выпускники ЗМШ.

В ЗМШ 29 филиалов. Они организованы при педагогических институтах и университетах и работают по общей программе. Кроме того, имеется ещё одна форма работы ЗМШ, которая называется «коллективный ученик». Это — школьный математический кружок, работающий под руководством учителя по программе ЗМШ. Задания разбираются на занятиях кружка, затем каждый его участник выполняет контрольную работу, которую проверяет учитель. После этого кружок оформляет одну общую «коллективную работу» и отсылает её в ЗМШ. В настоящее время при ЗМШ существует около 350 таких кружков.

В 1965 г. начала работать Северо-западная заочная математическая школа при Ленинградском университете. Обе ЗМШ — московская и ленинградская — поддерживают взаимный контакт и «поделили» между собой поступающих в ЗМШ по территориальному признаку (см. правила приёма). Сейчас работают заочная физико-математическая школа при Московском физико-техническом институте, ЗФШ при физическом факультете МГУ и др.

Методист ЗМШ Ж. М. Раббот

---

ВНИМАНИЮ ВОСЬМИКЛАСНИКОВ!

Заочная математическая школа объявляет набор учащихся

В ЗМШ принимаются только ученики восьмых классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ЗМШ не принимаются. Занятия в школе начнутся с 1 сентября.

В ЗМШ два курса. Ученики, успешно окончившие школу, получат свидетельство об её окончании. Обучение в школе бесплатное.

В этом номере «Кванта» предлагаются задачи, которые служат вступительной контрольной работой в заочные математические школы при МГУ и ЛГУ. Те, кто хочет поступить в ЗМШ, должны выслать решения этих задач не позднее 10 марта 1970 г. После проверки работы (примерно в июне 1970 г.) вам будет сообщено, приняты ли вы в ЗМШ.

Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему виду отличаются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике.

Для того чтобы быть принятым в школу, не обязательно решить все задачи без исключения. При оценке работы будет учитываться не только количество решённых задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких объяснений может быть не засчитан. Если в задаче возможно несколько разных ответов, то надо указать их все.

Работы должны быть выполнены на русском языке в ученической тетради в клетку. Вступительные работы обратно не высылаются.

Просим при пересылке не сворачивать тетради в трубку. В конверт вместе с тетрадью нужно вложить листок бумаги размером $14~\text{см}\times6~\text{см}$‍‍ с написанным на нём вашим почтовым адресом (мы наклеим его на конверт, когда будем посылать ответ).

На обложку тетради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнив его по следующему образцу (иначе ваша работа проверяться не будет!): $$ \begin{array}{ll} \text{Область:}&\textit{Вологодская.}\\ \text{Фамилия, имя, год рождения:}&\textit{Иванов Пётр, 1952 г.}\\ \text{Школа (полное название):}&\textit{Школа № 2 г. Тотьмы.}\\ \text{Класс:}&\textit{8 класс «Б».}\\ \text{Фамилия, имя, отчество}\\ \text{учителя математики:}&\textit{Никаноров Николай Алексеевич.}\\ \text{Место работы и должность}&\textit{Отец — шофёр автобазы № 3,}\\ \text{родителей:}&\textit{мать — домашняя хозяйка.}\\ \text{Полный почтовый адрес:}&\textit{г. Тотьма, ул. Ленина, д. 3, кв. 8.} \end{array} $$

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ
(заполняется проверяющим)

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \quad\text{№}\quad& \quad\mathclap{1}\quad&\quad\mathclap{2}\quad&\quad\mathclap{3}\quad&\quad\mathclap{4}\quad&\quad\mathclap{5}\quad&\quad\mathclap{6}\quad&\quad\mathclap{7}\quad&\quad\mathclap{8}\quad&\quad\mathclap{9}\quad&\quad\mathclap{10}\quad&\quad\mathclap{11}\quad&\quad\mathclap{12}\quad&\quad\mathclap{13}\quad\\ \hline &&&&&&&&&&&&&\\ &&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array} $$

Школьники, проживающие в Архангельской, Вологодской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новосибирской, Псковской областях, Коми и Карельской АССР, Белорусской, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, должны высылать работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61, Специнтернат при ЛГУ. Заочная школа. На конкурс.

Школьники, проживающие в остальных областях и республиках СССР, должны высылать работы по адресу: Москва, В-234, МГУ, мехмат, ЗМШ. На конкурс.

---

Вступительная контрольная работа ЗМШ 1970 года

1. Математик шёл домой по берегу ручья вверх по течению со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения ручья, и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав её с палкой, и продолжал идти вверх по течению ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шёл вперёд. Догнав плывшую шляпу, он мгновенно выудил её из воды, повернулся и пошёл по течению с первоначальной скоростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. Насколько раньше он пришёл бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?
2. Для всякого ли треугольника $ABC$‍‍ найдётся такая точка $P$‍,‍ что все три точки, симметричные точке $P$‍‍ относительно прямых $AB$‍,‍ $BC$‍‍ и $AC$‍,‍ лежат на окружности, описанной около треугольника $ABC$‍?‍
3. Для каких значений $a$‍‍ разность корней уравнения $ax^2+x-2=0$‍‍ равна 3?
4. Студент за пять лет учёбы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов на четвёртом курсе?
5. Основания равнобочной трапеции 4 см и 8 см, её площадь $21~\text{см}^2$‍.‍ Какую сторону пересекает биссектриса угла при большем основании — меньшее основание или боковую сторону трапеции?
6. Все цифры некоторого четырёхзначного числа, являющегося полным квадратом, можно уменьшить на одно и то же число так, что получится четырёхзначное число, тоже являющееся полным квадратом. Найти все такие числа.
7. Может ли сумма расстояний от точки, лежащей внутри выпуклого четырёхугольника, до всех его вершин быть больше его периметра?
8. Один из трёх гангстеров, известных в городе Ч. под кличками Арчи, Босс и Весли, украл портфель с деньгами. На допросе каждый из них сделал три заявления: $$ \colsep{2pt}{\begin{array}{rl} \text{Арчи:}&\text{1) Я не брал портфеля.}\\ &\text{2) В день кражи я уезжал из города Ч.}\\ &\text{3) Портфель украл Весли.}\\[4pt] \text{Босс:}&\text{1) Портфель украл Весли.}\\ &\text{2) Если бы я и взял его, я бы не сознался.}\\ &\text{3) У меня и так много денег.}\\[4pt] \text{Весли:}&\text{1) Я не брал портфеля.}\\ &\text{2) Я давно ищу хороший портфель.}\\ &\text{3) Арчи прав, говоря, что он уезжал из Ч.} \end{array}} $$ В ходе следствия выяснилось, что из трёх заявлений каждого гангстера два верных, а одно неверное. Кто украл портфель?
9. Найти целые числа $x$‍‍ и $y$‍‍ такие, что $$ x\gt y\gt0\quad{и}\quad x^3+7y=y^3+7x. $$
10. Квадратная площадь размером $100~\text{м}\times100~\text{м}$‍‍ выложена квадратными плитами $1~\text{м}\times1~\text{м}$‍‍ четырёх цветов: белого, красного, чёрного и серого — так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (т. е. не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?
11. Решить уравнение $$ (x^2+6x-4)(x^2+6x-3)=12. $$
12. Дан треугольник $ABC$‍.‍ Найти точки $K$‍‍ и $H$‍,‍ лежащие соответственно на сторонах $AB$‍‍ и $BC$‍,‍ такие, что $$ BK=KH=HC. $$
13. Найти все такие простые числа $p$‍,‍ что $p^2+13$‍‍ тоже простое.