Колмогоров А. Н.

 и др. Физико-математические школы-интернатыКолмогоров А. Н. и др. Физико-математические школы-интернаты / Колмогоров А. Н., Гусев В. А., Егоров А. А., Сурков Е. Л. . // Квант. — 1970. — № 1. — С. 58‍—‍59.‍‍

Шесть лет тому назад при четырёх крупнейших университетах страны были созданы физико-математические школы-интернаты. Их задача — помочь подросткам из сёл и периферийных городов найти дорогу к математической и физической науке. Конечно, никто не обещает всем принятым в интернат, что они станут учёными. Но здесь готовят людей, которые по мере своих сил будут участвовать в прогрессе науки.

Ленинградский интернат принимает ребят из Латвийской, Литовской и Эстонской ССР и северно-западных областей РСФСР, Новосибирский — из областей Сибири и среднеазиатских республик, Киевский — Украины и Молдавии. В Московский интернат принимаются учащиеся центральных областей РСФСР и Белоруссии.

Отбор кандидатов и экзамены в интернаты начинаются по областям одновременно с физическими и математическими олимпиадами (как правило, в дни весенних каникул). Точные даты и порядок приёма можно узнать в областных отделах народного образования.

Остановимся подробнее на Московском интернате. Он принимает учеников в 9 и 10 классы. Большинство его учеников в порядке общего конкурса поступает на механико-математический или физический факультет Московского университета или в Московский физико-технический институт. Многие ученики первого выпуска уже поступили в аспирантуру, а некоторые ещё студентами опубликовали интересные самостоятельные работы.

Мы радуемся, если кто-либо из наших учеников проявляет признаки особенно яркой одарённости, но не стремимся выловить лишь исключительные таланты. От всех поступающих требуется только увлечение наукой и готовность трудиться значительно больше, чем подчас это принято у старшеклассников, которым ученье даётся сравнительно легко, а более интересны футбол или танцы. Впрочем, футболом и туризмом занимаются как наши ученики, так и молодые преподаватели. Между девятым и десятым классом ребята по своему желанию едут работать в совхозы Кавказа и Крыма и после трудовых недель путешествуют.

Лекции в интернате читают профессора и преподаватели Московского университета и физико-технического института, а занятия в значительной части ведут преподаватели, аспиранты и наиболее способные студенты этих вузов. Оборудование физических лабораторий (их много, по разным разделам физики) позволяет вести серьёзную работу, вплоть до выполнения сравнительно простых заданий для научных институтов.

В интернаты довольно большой конкурс, но уровень требований не так высок, чтобы каждому любящему математику и физику не стоило попробовать в них попасть (см., например, приведённые на следующей странице задачи для поступавших в 9 и 10 классы в Московский интернат в 1969 году). В самих же интернатах, кроме квалифицированного преподавания, вы найдёте товарищескую среду способных и увлечённых наукой юных математиков и физиков — среду, в которой особенно приятно и весело работать.

Преподаватели Московского интерната
А. Н. Колмогоров, В. А. Гусев,
А. А. Егоров, Е. Л. Сурков

---

Задачи на письменных экзаменах

Вариант для поступающих в 9 класс

1. Решить систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x^3+y^3=9,\\ x^2y+y^2x=6. \end{array}\right. $$
2. В треугольнике $ABC$‍‍ точки $P$‍,‍ $Q$‍‍ и $R$‍‍ являются основаниями высот, опущенных из вершин $A$‍,‍ $B$‍‍ и $C$‍‍ соответственно. Доказать, что $\angle ABQ=\angle APR$‍.‍
3. В каком году родились люди, которым в 1969 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр их года рождения?
4. Почему туман, состоящий из капель прозрачной воды, непрозрачен?
5. На пружинных весах установлен стакан с водой. В воде плавает пробка объёмом $V$‍‍ и плотностью $\rho$‍.‍ Пробку пальцем заталкивают под воду так, что она полностью погружается. Что покажут весы?

Вариант для поступающих в 10 класс

1. Решить систему уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} x(y+z)=3,\\ y(x+z)=4,\\ z(x+y)=5. \end{array}\right. $$
2. В трапеции $ABCD$‍‍ с основаниями $AD=a$‍,‍ $BC=b$‍‍ ($a\gt b$‍)‍ провели отрезок $MN$‍,‍ параллельный основаниям и делящий площадь трапеции пополам. Найти длину этого отрезка.
3. Найти все пары целых чисел $x$‍‍ и $y$‍,‍ удовлетворяющие уравнению $$x^2-6xy+5y^2=11.$$
4. На дне одного из сообщающихся сосудов лежит поршень весом $P$‍.‍ Сила трения его о стенки равна $F$‍.‍ Сколько воды нужно налить в другой сосуд, чтобы поршень подвинулся до высоты $h$‍?‍
5. На ленту транспортёра кладут без начальной скорости ящик. Лента движется со скоростью $v$‍.‍ Коэффициент трения $k$‍.‍ Какой путь проделает ящик относительно ленты до тех пор, пока его скорость не станет равной $v$‍?‍

Задачи на устных экзаменах

1. Найти сумму квадратов корней уравнения, не решая его: $$x^2+px+q=0.$$
2. Какое из двух чисел больше: $2^{300}$‍‍ или $3^{200}$‍?‍
3. Дан график квадратного трёхчлена $y=ax^2+bx+c$‍.‍ Каковы знаки чисел $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍?‍
Рисунок
4. Доказать, что сумма медиан треугольника меньше периметра и больше $\dfrac34$‍‍ периметра этого треугольника.
5. Основания трапеции $a$‍‍ и $b$‍‍ ($a\gt b$‍).‍ Найти длину отрезка, параллельного основаниям трапеции, проходящего через точку пересечения диагоналей и заключённого между её сторонами.
6. Доказать, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, полностью покроют четырёхугольник.
7. Две окружности радиусов $r_1$‍‍ и $r_2$‍‍ кaсаются данной прямой. Найти геометрическое место точек пересечения их общих внутренних касательных при условии, что окружности могут двигаться по данной прямой произвольным образом.
8. В стакане с водой плавает кусок льда, в котором внутри вкраплён кусочек свинца. Лёд растаял. Как изменится уровень воды в сосуде?
9. Пушка стреляет под углом $\alpha$‍.‍ Начальная скорость снаряда $v$‍.‍ На расстоянии $L$‍‍ от пушки поставлен экран, от которого снаряд упруго отражается. На каком расстоянии от пушки он упадёт?