Текст статьи Петраков И. С. XII Международная математическая олимпиада школьников // Квант. — 1971. — № 2. — С. 54—55.
С 8 по 22 июля в Будапеште и Кестхели (Венгрия) проходила XII Международная математическая олимпиада. В ней приняли участие команды Австрии, Англии, Болгарии, Венгрии, Голландии, ГДР, МНР, Польши, Румынии, Советского Союза, Франции, Чехословакии, Швеции и Югославии. Каждая команда состояла из восьми учащихся.
9 июля наша команда прибыла в Будапешт. Вечер 9 и день 10 июля мы знакомились с городом, а 11 июля все участники олимпиады переехали в Кестхель, где 13 и 14 июля и проходили соревнования по решению задач.
Как обычно, в каждый из дней соревнований участники должны были за 4 часа решить по 3 задачи. Тексты этих задач вы найдёте в конце заметки. В скобках после каждой задачи указано, какой страной задача была предложена и во сколько очков оценивалось её решение.
18 июля члены жюри подвели итоги соревнований и обсудили вопрос о месте и порядке проведения следующей олимпиады. Чехословацкие руководители сообщили о решении жюри провести олимпиаду в Чехословакии. Внесены были предложения об отдельных изменениях в уставе. В частности, предлагается некоторые задачи давать в двух вариантах, из которых участники могут выбирать тот, который им больше нравится. Также было внесено предложение давать задачи из современной математики: теории групп, алгебраических структур, аналитической геометрии, векторной алгебры.
19 июля все команды вернулись в Будапешт, где 21 июля состоялось вручение дипломов победителям и закрытие олимпиады.
По итогам олимпиады было присуждено 7 дипломов первой степени, 11 второй и 40 третьей.
Дипломы I степени присудили участникам, набравшим от 37 до 40 очков. 40 очков набрали Андрей Ходулев (СССР, школа-интернат при МГУ; из Калинина), Вольфганг Бурмайстер (ГДР), Имре Руже (Венгрия). По 39 очков набрали Сильвермен Бернард (Англия), Аркадий Климов (СССР, школа-интернат при МГУ; из Арзамаса), Эрвин Баймоци (Венгрия). Венгерский школьник Иштван Гончзы набрал 37 очков.
Дипломы II степени присудили участникам, набравшим от 30 до 35 очков. Из наших школьников его получил Алексей Александров, набравший 35 очков (9 класс школы-интерната при ЛГУ).
Дипломы III степени вручались участникам, набравшим от 19 до 28 очков. В нашей команде их получили Сергей Семеньков, набравший 27 очков (10 класс школы-интерната при ЛГУ), Велло Альтлейс, набравший 24 очка (11 класс Ныосской средней школы Тартусского района Эстонской ССР) и Александр Корлюков, набравший 24 очка (10 класс школы-интерната при МГУ; из Гродно).
Павел Копылов (г. Воронеж, школа № 58) и Александр Линецкий (г. Харьков, школа № 27) не смогли продемонстрировать все свои возможности и набрали соответственно 15 и 17 очков.
В целом команда Венгрии набрала 233 очка, СССР и ГДР — по 221 очку, Югославии — 209 очков, Румынии — 208, Англии — 180, Болгарии и Чехословакии — по 145, Франции — 141, Швеции — 110, Польши — 105, Австрии — 104, Голландии — 87, МНР — 78.
Сейчас все участники советской команды, окончившие школу, учатся в Московском или Ленинградском университетах, а Алёша Александров заканчивает 10-й класс и думает о поездке на XIII Международную математическую олимпиаду в Чехословакию.
Задачи, предложенные в первый день
- Дан треугольник
$ABC$, $M$ — внутренняя точка стороны$AB$. Пусть$r_1$, $r_2$, $r$ — радиусы окружностей, вписанных в треугольники$AMC$, $BMC$, $ABC$ соответственно;$\rho_1$, $\rho_2$, $\rho$ — радиусы окружностей, которые лежат внутри угла$ACB$, и являются вневписанными для треугольников$AMC$, $BMC$, $ABC$ соответственно. Доказать, что$\dfrac{r_1r_2}{\rho_1\rho_2}=\dfrac{r}{\rho}$ (Польша, 5 очков). - Пусть
$a$, $b$ и$n$ — натуральные числа, большие единицы. Числа$A_n$, $B_n$ имеют одинаковое представление$x_nx_{n-1}\ldots x_1x_0$ в системах счисления с основаниями$a$ и$b$, причём$x_n\ne0$, $x_{n-1}\ne0$. Числа, получившиеся после вычёркивания первой цифры$x_n$, будем называть$A_{n-1}$, $B_{n-1}$. Доказать, что$a\gt b$ тогда и только тогда, когда$\dfrac{A_{n-1}}{A_n}\lt \dfrac{B_{n-1}}{B_n}$ (Румыния, 7 очков). - Последовательность действительных чисел
$a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$, $\ldots$ удовлетворяет условию $$ 1=a_0\le a_1\le\ldots\le a_n\le\ldots\tag{1} $$ Последовательность$b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_n$, $\ldots$ определяется так: $$ b_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(1-\dfrac{a_{k-1}}{a_k}\right)\dfrac{1}{\sqrt{a_k}}. $$ а) Доказать, что$0\le b_n\lt 2$ для всех$n$. б) Доказать, что для данного$c$, такого, что$0\le c\lt 2$, существует последовательность$a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$, $\ldots$, удовлетворяющая условию (1), такая, что$b_n\gt c$ для бесконечного множества индексов$n$ (Швеция, 8 очков).
Задачи, предложенные во второй день
- Найти все положительные целые числа
$n$, обладающие следующим свойством: множество $$ \{n;\,n+1;\,n+2;\,n+3;\,n+4;\,n+5\} $$ можно разделить на два множества так, что произведение всех элементов одного из них равно произведению всех элементов другого (Чехословакия, 6 очков). - В тетраэдре
$ABCD$ $DB\perp DC$ и основание перпендикуляра, опущенного из$D$ на плоскость треугольника$ABC$, совпадает с ортоцентром этого треугольника. Доказать, что$(AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2)$. Для каких тетраэдров имеет место равенство (Болгария, 6 очков)? - На плоскости заданы 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Рассматриваются все возможные треугольники с вершинами в этих точках. Доказать, что среди них будет не более 70% остроугольных треугольников (Советский Союз, 8 очков).
Ответы, указания, решения
Следует иметь в виду, что каждая задача может быть решена несколькими способами, в том числе отличными от указанных здесь.
Читателю рекомендуется найти своё решение каждой задачи, не пользуясь указаниями.
- Сначала для произвольного треугольника доказать, что
$$
\dfrac{r}{\rho}=\tg\dfrac{\alpha}{2}\tg\dfrac{\beta}{2},
$$
где
$r$ и$\rho$ — соответственно радиусы вписанной и вневписанной в$\triangle ACB$ окружности (последняя касается стороны$AB$), $\alpha=\angle CAB$, $\beta=\angle CBA$. Для доказательства указанной формулы выражают$AB$ через$r$ и тангенсы углов$\dfrac{\alpha}{2}$ и$\dfrac{\beta}{2}$, затем через$\rho$ и тангенсы тех же углов, а затем приравнивают полученные выражения. Из доказанного непосредственно следует утверждение задачи. - В неравенстве
$$
\dfrac{A_{n-1}}{A_n}\lt\dfrac{B_{n-1}}{B_n}
$$
все члены заменить многочленами относительно
$a$ и$b$ с коэффициентами$x_n$, $x_{n-1}$, $\ldots$, $x_0$. Тождественными преобразованиями (вычитают обе части неравенства из 1, затем рассматривают обратные дроби, которые приводятся к сумме, и сравнивают отдельные слагаемые) приводят указанное неравенство к очевидному. - Из условия следует, что все
$b_n\ge0$. Из того, что корень из произведения соседних чисел меньше большего из них, следует, что отношение суммы корней из этих чисел к большему не превосходит двух, делённых на корень из меньшего числа, что можно преобразовать так $$ \left(1-\dfrac{a_{k-1}}{a_k}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a_k}}\le2\left(\dfrac{1}{\sqrt{a_{k-1}}}-\dfrac{1}{\sqrt{a_k}}\right). $$ Последнее непосредственно приводит к выводу, что$b_n\lt2$. Для доказательства второй части утверждения взять$M$ такое, что$c\lt M\lt2$, а в качестве последовательности$a_n$ — геометрическую прогрессию с$a_n=q^n$, где$q\gt1$ определяется из соотношения$\dfrac{\sqrt{q+1}}{q}=M$, в результате получается требуемое$b_n$. - Из шести последовательных целых чисел по крайней мере одно делится на 5. Показать, что в этом случае
$n$ и$n+5$ делятся на 5. Затем показать, что произведение любых двух сомножителей больше третьего. Из этого следует, что в каждой группе три сомножителя. Перебором можно установить, что равенство невозможно ни при каком целом$n$. - Доказать, что противоположные рёбра взаимно перпендикулярны. Исходя из этого, доказать, что суммы квадратов противоположных рёбер равны. Отсюда получается, что $$ 6(AD^2+BD^2+DC^2)=3(AC^2+BC^2+AB^2). $$ Неравенство $$ (AB+BC+AC)^2\le3(AC^2+BC^2+AB^2) $$ получается сложением неравенств: $$ (AB-BC)^2\ge0, $$ $$ (BC-AC)^2\ge0, $$ $$ (AB-AC)^2\ge0. $$
- Доказать, что для четырёх точек не менее 3 из 4 треугольников остроугольны. Взять 5 точек и показать, что не менее трёх треугольников с вершинами в этих точках не остроугольны. Затем подсчитать общее число остроугольных треугольников, учитывая, что остроугольные треугольники могут входить и в другие пятёрки точек. В заключение найти отношение полученного числа к общему числу треугольников.