Текст статьи Орлов А. И. ВМШ при Московском математическом обществе // Квант. — 1973. — № 9. — С. 72—73.
ВМШ — это вечерняя математическая школа. Заниматься в этой школе могут все желающие ученики 6—8 классов. Вступительных экзаменов в ВМШ нет.
Хорошо работающим школьникам Совет ВМШ присваивает звание «ученик ВМШ», выдаёт удостоверение, а по окончании года — рекомендацию для поступления в математическую школу.
За десять лет работы ВМШ её бывшие ученики много раз побеждали на всесоюзных и международных математических олимпиадах, напечатали десятки научных работ. Но ВМШ не ставит своей единственной целью подготовку и отбор будущих профессионалов-математиков.
Умение «математически мыслить» полезно (а часто и необходимо) любому человеку. Ведь математику можно применять везде! Например, с февраля по май 1973 года на семинаре, в котором я участвую, рассматривались математические модели, применяемые в экономике, социологии, медицине, психологии, геологии, генетике, демографии и т. д. Но, к сожалению, учёные и инженеры при обсуждении этих вопросов иногда пользуются теоремами и формулами математики, не понимая отчётливо их смысл.
Это, естественно, приводит, к ошибкам. Чтобы таких ошибок не было, надо как можно раньше начать тренироваться в осознании смысла математических теорем, например, в математическом кружке или в вечерней школе.
Основное на занятиях ВМШ — решение задач; основная обязанность учеников ВМШ — не стесняться и не бояться задавать вопрос, когда что-либо не совсем понятно. Программу работы каждой группы (кружка) ВМШ определяют руководители этой группы; при этом учитываются интересы школьников, занимающихся в группе.
ВМШ работает с октября по апрель. Учебный год начинается с собрания в Актовом зале Московского университета. Занятия проводятся один раз в неделюв школах или в аудиториях МГУ. Кроме того, регулярно проводится общий для всех групп конкурс по решению задач.
Желающие заниматься в ВМШ могут написать по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, д. 14, корп. 7, ЦЭМИ, лаборатория теории вероятностей и математической статистики, ВМШ, или позвонить во второй половине сентября по телефонам: 291-85-72, 139-39-29.
В заключение мы приведём несколько задач из числа разобранных на занятиях ВМШ. Отметим, что около 400 задач ВМШ собрано в двух книгах: Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь, А. К. Толпыго «Математические задачи» (М., «Наука», 1971); Е. Б. Дынкин, С. А. Молчанов, А. Л. Розенталь «Математические соревнования. Арифметика и алгебра» (М., «Наука», 1970). По материалам ВМШ работают «Встречи с тремя Неизвестными» в журнале «Пионер».
Задачи
- Вдоль прямого шоссе стоят 6 домов. Где вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до домов была наименьшей? Тот же вопрос, если домов 7.
- Золотой призёр чемпионата набрал 7 очков, серебряный — 5, бронзовый — 3. Сколько очков набрала команда, занявщая последнее место? (За победу в матче даётся 2 очка, ничья — 1, проигрыш — 0.)
Решить в натуральных числах уравнения:
$xy^2+3y^2-x=108$; $x!+12=y^2$
($x!$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до$x$, например,$1!=1$, $2!=1\cdot2$, $3!=1\cdot2\cdot3=6$, $4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24$). - Числа
$p$ и$p^6-6$ простые. Найти$p$. - Дан треугольник
$ABC$. Через точку$A$ проведена параллельно$BC$ прямая, на которой взята точка$D$. Перпендикуляр$BE$ опущен на$CD$. Доказать, что площадь треугольника$ABC$ равна$\dfrac12CD\cdot BE$. - Одинаковые цифры зашифрованы одинаковыми буквами, а разные — разными. Расшифруйте равенство: $$ \text{МЯУ}\cdot\text{МЯУ}=\text{МЯУЯК}+\text{УЯЯ}. $$
- Прожектор освещает внутренность угла в
$\alpha^\circ$. Крепостная стена расположена по периметру выпуклого многоугольника, не являющегося параллелограммом. Доказать, что тремя прожекторами можно осветить снаружи всю стену. (Точка$A$ считается освещённой прожектором$B$, если его лучи достигают всех точек некоторой части стены вокруг$A$.) - Первый задумывает
$n$ цифр$x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$. Второй называет$n$ натуральных чисел$a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$. Первый в ответ сообщает сумму$a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n$. Сколько вопросов надо задать второму, чтобы отгадать цифры$x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$? Как действовать, когда$x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ — не обязательно цифры, а натуральные числа, меньшие 1000? А если про$x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$ известно лишь, что это натуральные числа? - Есть ровно 57 способов выдать
$x$ рублей билетами по 3 и 5 рублей. Чему равно$x$ (укажите все возможности)? - Найти все функции
$f$ такие, что для любых чисел$x$, $y$ справедливо равенство $$ f(x)\,f(y)-xy=f(x)+f(y)-1. $$ - Про точки
$A$, $B$, $C$ известно, что для любой четвёртой точки$M$ отрезок$AM$ меньше хотя бы одного из отрезков$BM$ и$CM$. Доказать, что точка$A$ лежит на отрезке$BC$. - Подобрать числа
$a$, $b$, $c$, $d$, $e$ так, чтобы уравнение $$ \sqrt{ax+b}+\sqrt{cx+d}=e $$ имело корни$x=3$ и$x=4$. - Натуральное число
$n$ делится на 12 и имеет 14 различных натуральных делителей. Найти$n$.
Ответы, указания, решения
- Колодец можно рыть в любом месте между третьим и четвёртым домами.
- 2 очка (5 команд).
- Вычтите число 3 из обеих частей уравнения и разложите левую часть на множители.
- Есть два пути: если
$x$ больше 5, то$y^2$ оканчивается на 2, чего не может быть; если$x$ больше 6, то$y^2$ делится на 3, но не делится на 9, чего не может быть.
- Проверьте, что если
$x$ не делится на 5, то$x^4-1$ делится на 5. - Опущенные на
$BC$ высоты треугольников$ABC$ и$DBC$ равны. $\text{МЯУ}=102$ или$\text{МЯУ}=103$. - См. статью И. М. Яглома в «Кванте» № 3, 1972 (надо применить результат задачи М89).
- Для отгадывания цифр достаточно одного вопроса:
$a_1=1$, $a_2=10$, $a_3=100$, $\ldots$, $a_n=10^{n-1}$. Если известно лишь, что загаданы натуральные числа, то одного вопроса не хватит (докажите!), хватит двух: первым узнаём сумму этих чисел, пусть она меньше$10^k$, во втором вопросе$a_1=1$, $a_2=10^k$, $a_3=10^{2k}$, $\ldots$ $x=840+5a+3b$, где$a=0$, 1, 2;$b=0$, 1, 2, 3, 4. Указание. Любой способ выдачи можно получить из любого другого, несколько раз меняя пять трёшек на три пятёрки.$f(x)=1+x$ или$f(x)=1-x$. - Например,
$a=-1$, $b=4$, $c=1$, $d=-3$, $e=1$. - 192.