Березин В. Н.

‍,

Смолянский М. Л.

Портреты ЗемлиБерезин В. Н., Смолянский М. Л. Портреты Земли // Квант. — 1970. — № 7. — С. 10‍—‍25.‍‍

Вставить иллюстрации

Портреты, модели, карты

Схемы, чертежи, планы, фотографии, портреты, выполненные художниками и конструкторами, — всё это модели изображаемых или предметов («оригиналов»). Модель есть своего рода заменитель изображаемого его предмета. Каждая модель, снабжая нас информацией об изображаемом ею «оригинале», в то же время ряд черт этого «оригинала» не воспроизводит, опускает их, или, как говорят, абстрагируется от них. Да это и понятно: «полная» модель, являющаяся точной копией «оригинала», не обладала бы с точки зрения лёгкости изучения никакими преимуществами в сравнении с ним. Ради упрощения процесса познания приходится жертвовать его полнотой. Как правило, плоское изображение пространственного объекта искажает форму оригинала. К числу таких объектов относится земной шар, способом изготовления «портретов» которого, т. е. попросту географических карт, посвящена эта статья. Способов этих (в зависимости от назначения карты) известно много. Но при всём их разнообразии все они так или иначе включают и варьируют два основных «мотива»: проектирование и развёртку на плоскость.

«Бюст Земли» — глобус

Прежде чем перейти к различным способам изображения земной поверхности на карте, или, как их называют, к картографическим проекциям, скажем несколько слов о «скульптурном портрете» Земли, который можно считать промежуточным этапом для получения других «портретов»,— иначе говоря, о хорошо известном всем глобусе.

То, что наша планета по форме близка к шару, было достаточно ясно осознано ещё древнегреческими учеными, основывавшимися главным образом на наблюдениях мореплавателей и путешественников. Конечно, сами по себе эти наблюдения позволяли утверждать лишь, что известная грекам часть Земли,— то есть части Европы, Азии и Африки, непосредственно примыкающие к Средиземному и Чёрному морям и восточной части Атлантического океана, — выпукла. Не удивительно, что при высокоразвитой у греков культуре абстрактного мышления эти достаточно косвенные данные позволили учёным того времени выдвинуть смелую гипотезу о замкнутости поверхности Земли. Форма же земной тени на поверхности Луны во время затмений (осознание того, что это тень Земли, само по себе было достижением, которое трудно переоценить), а также другие наблюдения привели к убеждению, что Земля — шар.

О том, как греки представляли себе «лицо» Земли, можно судить по древнейшей дошедшей до нас (в позднейших латинских копиях) географической карте, составленной знаменитым греческим ученым Клавдием Птолемеем (около 150 лет до нашей эры). Птолемей, пользуясь введённой ещё до него Гиппархом координатной сеткой, пытается развернуть сферическую поверхность Земли на плоскость (рис. 1). Меридианы изображаются двузвенными ломаными, а широтные круги — дугами окружностей, верхняя из которых соответствует примерно полярному кругу, нижняя — экватору, а отделяющая усечённый конус умеренного пояса от цилиндрического экваториального (широта $0^\circ$‍)‍ — тропику Рака. Вдоль меридианов выдержан постоянный масштаб (концентрические дуги параллелей отделены друг от друга через каждые $10^\circ$‍‍ равными промежутками). Понимая, что к югу от экватора параллели снова должны сокращаться, в связи с чем нижняя половина развёртки должна была бы быть отделена от изображённой им верхней разрезом, Птолемей не пытался изображать Южное полушарие. Африку с юга и Азию с востока ему пришлось продолжать гипотетической Terra incognita («Неизвестной Землёй»), к югу от Индийского океана переходящей в «Звёздную Землю» (Terra australia; название это впоследствии было присвоено открытому примерно в тех же краях пятому материку). Карта Птолемея выполнена, как сказали бы современные картографы, в «произвольной проекции». Тем примечательнее точность, с которой на неё нанесены координаты (особенно широты) многих городов и портов.

Птолемей приводит и другую проекцию, с его точки зрения более красивую и правильную, но менее удобную для практических построений.

Предоставим слово самому Птолемею‍: «... можно было представить себе в виде прямой один только средний меридиан, с плоскостью которого совпадает ось зрения. Меридианы же, находящиеся по обе стороны от него, кажутся обращёнными к нему своей вогнутостью, возрастающей по мере удаления от него (рис. 2).

Последний чертёж передаёт это, сохраняя надлежащее соответствие изгибов. Кроме того, взаимная пропорциональность дуг параллелей передаёт как можно точнее подлинное отношение одних параллелей к другим...

Благодаря всему этому второй способ имеет, пожалуй, преимущество перед первым, уступая ему, однако, в удобстве исполнения чертежа. Там можно было провести только одну параллель, разбить её на деления и наносить на карту любой пункт, прикладывая и перемещая линейку. Здесь же этого удобства нет, так как линии меридианов подходят к среднему меридиану изгибаясь, и, кроме того, нужно ещё чертить все окружности, а положение относительно окружающих стороны квадрата точек, приходящихся на просветы сетки, нужно определять по нанесённым на карту точкам путём расчёта. Поэтому, хотя я лично в данном деле и везде предпочитаю то, что лучше и труднее, тому, что хуже и легче, нужно всё же придерживаться обоих установленных способов, имея в виду людей, которых праздность влечёт к более лёгкому...»

Примерно к тому же времени (середина II века до нашей эры) относится, по-видимому, и изготовление первого из известных глобусов. Глобус этот, сделанный философом Кратесом Малосским, не сохранился и известен по позднейшим описаниям, на схематичность которых приходится делать неизбежную скидку при оценке его точности. Знаниям этой эпохи вполне соответствовало изображение на глобусе материка Ойкумены («Обитаемого»), состоящего из Евразии и Африки (для этого у Кратеса были, конечно, основания, поскольку Суэцкий перешеек был перерезан каналом, действительно, несколько позднее). Пропорции привычных нам очертаний береговых линий (особенно в периферийных областях) заметно нарушены, но взаимное расположение таких характерных элементов карты, как Средиземное, Чёрное, Красное и Белое моря, Персидский залив, Аравийский полуостров и полуострова Юга Европы, передано в общем правильно.

Глобус Кратеса (в отличие от гораздо более подробной карты Птолемея) играл, очевидно, в основном демонстрационную роль. Появление же на нём таких фантастических деталей, как симметричный Ойкумене относительно экватора материк, населённый будто бы «Антэками», и материки на севере и юге противоположного полушария (обиталища «Пермяков» и «Антиподов») можно, пожалуй, объяснить неосознанным стремлением к «симметрии», очень характерным, кстати, и для современной науки (рис. 3).

До наших дней дошёл глобус (смотри заставку к статье), изготовленный жителем Нюрнберга Мартином Бихеймом намного позже — в том самом 1492 году, который в честь открытия Колумбом Америки стали считать условной границей между средневековьем и новым временем. На полуметровом глобусе Бихейма и особенно на карте (см. рис. 4), изготовленной с помощью этого глобуса, хорошо видно, что география его времени переоценила размеры Азии, а путь из Испании до её восточных берегов (Китая и Индии) оценивали из-за этого почти вдвое меньшим, чем в действительности.

Ошибка, конечно, есть ошибка, но объективно эти представления безусловно способствовали оптимизму Колумба, вдохновляя его на смелый замысел достичь восточных берегов Азии, двигая свои каравеллы всё время на запад.

От «макета» к «портрету»

Но сейчас, когда глобусы умеют делать вполне хорошо, что мешает пользоваться ими во всех случаях, когда нужна карта? Или они тоже не свободны от искажений — не учитывают, например, сплюснутость Земли у полюсов или её горный рельеф? Нет, это здесь не очень существенно: разница между полярным и экваториальным радиусами Земли составляет не более 0,3% любого из них, а высота высочайшей горной вершины — Джомолунгмы — около 0,1% земного радиуса (и примерно того же порядка — глубочайшие впадины на дне океанов), так что в пределах разумной точности изготовления эти факторы вообще практически незаметны; гораздо удобнее изобразить рельеф на карте или глобусе с помощью так называемых «линий уровня», окрашивая для наглядности промежутки между ними в разные цвета. Суть же дела очень проста: глобус менее удобен, чем карта, — не снабжают же паспорта бюстами и барельефами владельцев!

Но, имея глобус, можно подумать и о «развёртке» его — хотя бы приблизительной. Для изготовления портрета Земли нам понадобится её миниатюрный макет.

Разобравшись в том, как глобус «развёртывается» в карту, мы подойдём, кстати, и к пониманию не менее интересной обратной задачи: как по полученным в результате аэрофотосъёмки плоским изображениям кусков земной поверхности воссоздаётся истинный вид оригинала — Земли.

Вспомним теперь, как делаются развёртки поверхностей. У многогранника можно, например, разрезать почти все рёбра, оставляя лишь по одному неразрезанному ребру у каждой грани, чтобы поверхность не распадалась на куски. Ещё проще развёртываются цилиндры и конусы. Модель цилиндра (точнее, цилиндрической поверхности) вы получите, склеив две противоположные стороны прямоугольного листа бумаги, а модель конуса — это просто бумажный фунтик. Достаточно разрезать любую из этих моделей по образующей и положить получившийся кусок бумаги на стол — и развёртка готова! Длины линий, начерченных на исходных поверхностях, сохранятся и на развёртках (разве что линия — если она пересекла образующую, вдоль которой делался разрез, — разорвётся на две части).

Но Земля наша — шар. Как доказал в 1777 году Леонард Эйлер, никакая (сколь угодно малая!) часть сферической поверхности не может быть развёрнута на плоскость с сохранением всех расстояний. Идея эйлеровского доказательства очень проста. Какую бы малую часть сферической поверхности глобуса мы ни взяли, мы можем внутри неё выделить круглую «шапочку». Ввиду полного равноправия каждой точки сферы (каждый диаметр является осью её симметрии) мы можем считать центр этой «шапочки» полюсом, а границу — параллелью (широтным кругом). Расстояния между точками шапочки надо, естественно, измерять по поверхности шапочки. В частности, расстояние от полюса до любой точки границы шапочки будет равно длине $r$‍‍ соответствующей дуги меридиана (рис. 5). Значит, на не искажающей размеров развёртке эта параллель должна изобразиться на плоскости окружностью радиуса $r$‍‍ и иметь, следовательно, длину $2\pi r$‍.‍ Но легко доказать (сделайте это сами!), что на самом деле длина нашего широтного круга меньше $2\pi r$‍.‍ Полученное противоречие и доказывает невозможность точной развёртки на плоскость даже самой малой шапочки, срезанной со сферы, и вообще никакой части сферической поверхности.

«Микрокарты» — планы

Из доказательства теоремы Эйлера (да и просто из соображений «здравого смысла») видно, что, когда речь идёт об очень малых участках земной поверхности, замена таких малых «шапочек» плоскими кружочками искажает переносимые на карту размеры тем меньше, чем меньше диаметр кружка. В конечном счёте вопрос сводится к тому, какая же точность изображения нам действительно нужна. Оценка допускаемой погрешности очень проста (см. задачу на стр. 25) и в каждом конкретном случае позволяет разумным образом ответить на этот вопрос.

Скажем, архитектор, планирующий застройку города, совершенно не интересуется формой всего земного шара — какой-нибудь овраг беспокоит его, конечно, гораздо больше, чем такие «вселенские» проблемы! Мало дела до округлости Земли и геологу, ведущему разведку конкретного месторождения, — ему гораздо существеннее учесть всякого рода местные условия и прочие «неправильности» рельефа, могущие повлиять на рациональный выбор пунктов бурения скважин. Короче говоря, когда речь идёт о составлении карт малых участков, мы можем смело уподобиться древним египтянам, ещё пять тысячелетий назад составлявших планы (так обычно называют эти «микрокарты») участков земной поверхности, абсолютно игнорируя выпуклость Земли в целом. Единственное требование к плану состоит в том, чтобы для произвольных точек $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ и $D$‍‍ на поверхности изображаемого участка Земли и их изображений на плане — точек $A'$‍,‍ $B'$‍,‍ $C'$‍‍ и $D'$‍‍ с достаточной точностью выполнялось равенство $\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}$‍.‍ Величину отношения $\frac{A'B'}{AB}$‍‍ естественно назвать масштабом изображения участка $AB$‍;‍ таким образом, условие наше выражает принцип постоянства масштаба. Из теоремы Эйлера следует, конечно, что строго постоянным масштаб плоского изображения куска земной поверхности быть не может. Поэтому в каждом конкретном случае устанавливают приемлемую величину допустимой погрешности и считают план «правильным», если погрешности на нём не превышают установленной нормы.

Очень простые и наглядные геометрические рассмотрения (см. рис. 6) убеждают нас в том, что все меридианы (линии постоянной долготы) равны между собой, а все параллели (линии постоянной широты) уменьшаются от экватора к полюсам от $2\pi R_{Земли}$‍‍ до нуля ($90^\circ$‍‍-я параллель вырождается в точку — полюс). Отсюда сразу следует, что отрезки меридианов, заключённые между соседними параллелями на глобусе, равны, а отрезки параллелей, заключённые между соседними меридианами уменьшаются по направлению от экватора к полюсам.

Легко также проверить, что все углы между параллелями и меридианами в точках их пересечения (т. е. углы между касательными к этим кривым в данных точках) прямые.

Ещё чуть-чуть истории

До эпохи великих географических открытий (XV век) картография, если и развивалась, то в достаточной мере стихийно. Сохранившиеся средневековые карты зачастую представляли даже значительный шаг назад от описанной выше карты Птолемея. Примером может служить так называемая Герефордская карта (1280 г.), довольно-таки фантастическое изображение круглой и плоской Земли на которой особых комментариев не требует и представляет разве лишь исторический интерес (рис. 7).

Для мореплавателей, однако, уже тогда составлялись специальные мореходные карты (рис. 8) — так называемые портуланы (или портоланы), снабжённые вместо координатной сетки (пользовались ли ею и чем вообще пользовались, помимо чисто эмпирических приёмов, составители портуланов — точно сказать трудно) так называемой «розой ветров» — направлениями «линий румбов», соответствующих делениям картушки (круглой шкалы) магнитного компаса, применявшегося в Европе уже с XII столетия (рис. 9). Они позволяли пролагать курс корабля на карте без всяких дополнительных расчётов, проводя с помощью так называемой штурманской линейки (сохранившейся, между прочим, и до наших дней) через точку положения корабля прямую, параллельную соответствующей линии румба (рис. 10).

Естественно, моряки были заинтересованы в том, чтобы направление курса, отклоняющегося от меридиана на данное число градусов, в любой точке карты было одним и тем же. Для этого необходимо (хотя, разумеется, недостаточно), чтобы меридианы и параллели изображались на карте прямыми. Удовлетворить это требование в сочетании с достаточной точностью изображения удалось впервые Герарду Меркатору, с именем которого часто связывают начало научной картографии. Меркаторская карта мира, опубликованная на 18 отдельных листах в 1569 году, не потеряла значения и до сих пор. (На рисунке, приведённом на стр. 18, показан фрагмент этой карты).

Бурный прогресс географических знаний в целом и в картографии в частности был характерен для XVI‍—‍XVII веков: изобретение маятниковых часов (X. Гюйгенс, 1675 г.), а затем и хронометра позволило с большой точностью определять географическую долготу пункта (широту хорошо определяли ещё древние греки), появились разнообразные, приспособленные к различным нуждам и исходящие из различных принципов системы проекций. К тому времени относится карта (рис. 11), изображающая всю поверхность Земли в виде двух «полушарний» (де Вит, 1700 г.). Ниже мы познакомимся с несколькими, относительно простыми по идее картографическими проекциями. Конечно, это только отдельные штрихи картографии — науки, связанной с такими славными именами, как Эйлер, Гаусс, Чебышев, Ламберт.

Квадратная проекция

Представим себе глобус, изготовленный в виде мяча правильной сферической формы, оболочка которого сделана из ткани, легко растягивающейся в одном направлении и совершенно нерастяжимой в перпендикулярном ему. Можно, например, считать, что горизонтальные нити — резиновые, а вертикальные — стальные, причём резиновые нити замкнуты и стягивают наш мяч-глобус по параллелям, а перпендикулярные им тонкие гибкие стальные стержни плотно облегают глобус по полумеридианам, примыкая друг к другу концами в полюсах. Поскольку концы меридианов не прикреплены друг к другу, можно, слегка растянув близкие к полюсам резиновые параллели, просунуть в образовавшиеся отверстия тонкую твёрдую спицу. Впрочем, не обязательно тонкую. Кто нам мешает растянуть параллели посильнее? Давайте так и поступим и вдвинем в отверстия, растянутые до размеров экватора, «толстую спицу», представляющую собой прямой круговой цилиндр того же радиуса, что и наш сферический глобус (рис. 12).

Вот мы и «преодолели» теорему Эйлера: ведь полученный цилиндр, будучи разрезанным вдоль любого полумеридиана (можно представить, что резиновые параллели, чтобы они после этой операции не стянулись вновь, подвергли перед разрезанием специальной термической обработке, лишившей их способности к дальнейшему сжатию и растяжению), великолепно развёртывается на плоскость! Разумеется, это не более чем шутка, — чуда «преодоления» не произошло: ведь все параллели (кроме экватора) растянулись, и очертания материков и островов растянулись в поперечном направлении. Особенно это растяжение заметно, конечно, в приполярных областях.

Мы получили изображение земного шара в виде прямоугольника, основание которого (равное экватору), вдвое больше высоты (полумеридиана). Его называют квадратной проекцией Земли. Эту проекцию, сохраняющую, как легко видеть, масштаб вдоль меридианов, предложил в 1438 году португальский принц Энрике Мореплаватель. (Он был не единственным августейшим картографом — в картографию внес значительный вклад и сам «король математиков» Гаусс.)

Локсодромии

При плавании под постоянным румбом корабль перемещается по линии, пересекающей меридианы под постоянным углом. Такие линии на сфере (на глобусе или на самой Земле) называют локсодромиями. К локсодромиям, в частности, принадлежат параллели (пересекающие меридианы под углом $90^\circ$‍)‍ и меридианы (угол $0^\circ$‍).‍ А каково же будет изображение в квадратной проекции произвольной локсодромии, пересекающей меридианы под любым углом $\alpha$‍‍ ($0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$‍)?‍

Рассмотрим маленький участок локсодромии (рис. 13), пройдя который корабль совершает перемещение $\Delta_1$‍‍ в широтном направлении и перемещение $\Delta_2$‍‍ по меридиану: $$ \frac{\Delta_2}{\Delta_1} = \ctg \alpha. $$

Но на широте $\varphi$‍‍ все расстояния в направлении запад‍—‍восток растянуты в $\frac{1}{\cos\varphi}$‍‍ раз. (Докажите это!) Значит, на карте перемещению по меридиану на расстояние $\Delta_2$‍‍ соответствует, при движении корабля по локсодромии, перемещение по параллели не на $\Delta_1$‍,‍ а на $$ \Delta_1' = \frac{\Delta_1}{\cos\varphi}, $$ и линия, изображающая интересующую нас локсодромию, будет пересекать меридианы не под постоянным углом $\alpha$‍,‍ а под зависящим от широты $\varphi$‍‍ углом $\beta$‍:‍ $$ \ctg\beta = \frac{\Delta_2}{\Delta_1'} = \ctg\alpha \cdot \cos\varphi. $$ Ясно, что $\alpha = \beta$‍‍ лишь на экваторе.

Локсодромия, пересекающая экватор под углом $\alpha = 30^\circ$‍,‍ изображена на рисунке 14. Вы, наверное, спросите: «Какая же из этих красных линий изображает локсодромию?» Но ведь здесь изображена одна линия! — склейте мысленно левый и правый края карты (в тот самый цилиндр, разрезанием которого эта карта была получена), и вы сразу убедитесь в этом. Эта намотанная на цилиндр непрерывная кривая делает свои «витки» вокруг цилиндра всё чаще и чаще по мере приближения к полюсам, но через полюс так и не проходит: она состоит из бесконечного множества витков. (Представьте себе, как должна выглядеть по мере приближения к полюсу локсодромия на глобусе, и бесконечность её «растянутой развёртки» уже, пожалуй, не покажется вам удивительной.)

Ещё одно растяжение. Проекция Меркатора

Давайте, теперь представим себя на минуту в роли Меркатора, с неудовольствием разглядывающего несуразно расплющенные очертания Скандинавии и Канады в квадратной проекции (Антарктиды тогда, слава богу, ещё не знали, — вот бы на чьё изображение ему полюбоваться!). Но неэстетичность карты можно было бы в конце концов пережить. Да и растяжение расстояний вдоль параллелей никого не введёт в заблуждение, раз уж нам известно правило получения истинного расстояния. Не кривое зеркало страшно, а уверенность в его правильности.

Хуже другое: карта в квадратной проекции неудобна для моряков, заинтересованных не столько в точности измерения расстояний, сколько в возможности легко «прокладывать» на карте постоянный курс, иными словами, в прямолинейности локсодромий. (Вспомним, что ещё в старых «портуланах», несмотря на всю их кустарность, это требование вполне удовлетворялось с достаточной для практики точностью.) Так что огорчает на рисунке 14 не столько «сплющенность» карты, сколько вид локсодромии.

Нельзя ли её выпрямить? За счёт чего она получилась кривой? Из-за растяжения карты в $\frac{1}{\cos \varphi}$‍‍ раз по широте? — Прекрасно! Кто же нам может помешать растянуть меридианы квадратной координатной сетки, тоже в $\frac{1}{\cos \varphi}$‍‍ раз!? Квадраты прежней координатной сетки вытянулись теперь в прямоугольники, и карта уже не обладает постоянством масштаба вдоль меридианов (см. рисунок 15, все кружки на котором изображают равные участки; синяя линия изображает локсодромию). Зато на меркаторской карте остаётся неизменным угол между двумя линиями, пересекающимися на глобусе. (Попробуйте доказать!) Достаточно малые части земной поверхности передаются «почти» с сохранением подобия (окружность радиуса 500 км, например), изображается на карте Меркатора замкнутым овалом, зрительно неотличимым от окружности). И локсодромии, конечно, прямолинейны.

По мере приближения к полюсам растяжение вертикального масштаба в проекции Меркатора неограниченно возрастает, следовательно, полная карта Земли в этой проекции была бы развёрткой цилиндра с бесконечной высотой и потребовала бы для своего изображения бесконечного листа бумаги. Поэтому приполярные области на таких картах не изображают (верхняя и нижняя границы карты, конечно, определяются при этом чисто произвольно, из соображений удобства; например, рисунок 15 ограничен сверху 85-й широтой, снизу — 30-й).

И ещё два замечания. Во-первых, наша реконструкция хода мысли Меркатора может вовсе не совпадать с действительным ходом его рассуждений; просто нам показалось, что именно так об этом говорить проще всего. Далее надо заметить, что вывод о растяжении карты вдоль меридианов в $\frac{1}{\cos \varphi}$‍‍ раз, полученный нами «на пальцах», для строгого (хотя и не сложного) обоснования потребовал бы владения элементами математического анализа, включая натуральные логарифмы и начала дифференциального и интегрального исчисления‍. Кстати, сам Меркатор в действительности и не сделал этого — с трогое решение задачи «выпрямления локсодромной» было получено лишь тридцатью годами позже Ричардом Райтом из Кембриджа (в чьей редакции и выходят современные издания того, что в наше время именуют «проекцией Меркатора»).

Цилиндрическая проекция Ламберта

Рассмотрим ещё одну проекцию с прямоугольной сеткой; получается она очень просто. Опишем вокруг глобуса прямой круговой цилиндр (касающийся его по экватору и в полосах) и спроектируем на его боковую поверхность поверхность глобуса (без полюсов!) так, чтобы лучом проекции для каждой точки этой поверхности служил проходящий через неё перпендикуляр к земной оси (рис. 16).

С помощью обычных формул школьной стереометрии легко показать (попробуйте!), что площади любых участков поверхности глобуса и их проекций на боковую поверхность цилиндра оказываются при этом равными, в связи с чем развёртку этого цилиндра (разрезанного по любому меридиану) и называют равновеликой цилиндрической проекцией (или проекцией Ламберта). Правильно передавая площади, проекция Ламберта сильно искажает форму даже малых участков проектируемой поверхности (сравните эллипсы на рисунке 17 с соответствующими кружками на рисунке 15): приполярные области сплющиваются здесь ещё сильнее, чем в квадратной проекции, из которой проекция Ламберта может быть, очевидно, получена сжатием по вертикальной оси. Прямолинейность изображений меридианов и параллелей совершенно очевидна.

Ортодромии

До сих пор мы считали почти само собой разумеющимся то, что для моряков важна простота прокладывания курса по карте, расстояние же, которое при этом приходится проходить кораблю, интересует их куда меньше. Что ж, во времена парусных судов, пожалуй, так дело и обстояло. Но в наши дни, при плаваниях на очень большие расстояния, вовсе не длящихся месяцами, и годами, не говоря уже о дальних (в том числе трансконтинентальных и межконтинентальных) авиационных полётах, первостепенную важность приобретает вопрос о минимальности траектории.

Можно доказать (чего мы здесь не будем пытаться делать), что на поверхности шара кратчайшей линией, соединяющей две произвольные её точки (или, как принято говорить в математике, геодезической), служит меньшая из дуг большого круга, проходящего через эти точки. Для диаметрально противоположных точек сферы обе дуги проходящего через них большого круга равны, и какую из них взять в качестве геодезической, конечно, безразлично.) Этот факт можно проверить и при помощи простого эксперимента, натянув нить между двумя точками на глобусе, лежащими на одном меридиане или на экваторе (любой другой большой круг, конечно, ничуть не хуже этих, но, в отличие от них, он просто не изображён на глобусе).

Большие круги земной поверхности, являющиеся кратчайшими расстояниями между её точками, в мореплавании и картографии принято называть ортодромиями. Локсодромия является ортодромией лишь тогда, когда она либо экватор, либо меридиан. Об этом, для нас столь интуитивно очевидном обстоятельстве знал, возможно, уже Меркатор; однако строгое доказательство этого утверждения было дано лишь его современником португальским математиком Педро Ньюнесом. Таким образом, в проекции Меркатора, «спрямившей» локсодромии, ортодромии изображены кривыми; примерами могут служить рисунки 18, 19, где видно, каким значительным может быть расхождение между локсодромией и ортодромией. Конечно, при больших перелётах разница может быть большой и при путешествии в умеренных широтах; например, путь по локсодромии от Москвы до Нью-Йорка равен 8500 км, а по ортодромии — 7500 км.

Гномоническая проекция

Проекция, в которой ортодромии изображаются прямыми, получается центральным проектированием из центра земной сферы: при этом все лучи, направленные в точки ортодромии (являющейся, как мы видели, большим кругом), лежат в одной плоскости, пересекающейся по прямой с любой плоскостью проекции. Проще всего сетка меридианов и параллелей выглядит в этой так называемой гномонической проекции (рис. 19), если плоскость проекции касается проектируемого на неё глобуса в полюсе. (Гномон — это стержень солнечных часов; если встать на плоскость проекции и считать гномоном земной радиус, то проекция проектирующего луча действительно представится нам тенью этого гномона.)

Легко доказать (сделайте это самостоятельно), что меридианы изображаются в гномонической проекции этого вида прямыми, а параллели — концентрическими окружностями. На рисунке 19 (где по понятным причинам нет изображения экватора: он «ушел в бесконечность») очень наглядна спиралеобразная форма локсодромии в окрестности полюса в гномонической проекции.

Для морских и воздушных путешествий на большие расстояния гномонические проекции очень удобны. Всю земную поверхность на такой карте, конечно, не изобразишь, так что приходится выбирать различные плоскости проекции, от положения которых зависит и форма изображаемой на них координатной сетки. На рисунках 20, а и 20, б изображены гномонические проекции, картинная плоскость которых касается глобуса не в полюсе.

оформить Задачу

Задача. Пусть план местности изображается проектированием данного участка, имеющего форму «шапочки» радиусом среза 100 км, на плоскость, касающуюся «шапочки» в центре $R_{Земли} \approx 6000$‍‍ км. Найти точность изображения, т. е. узнать на сколько процентов искажаются небольшие отрезки меридианов и параллелей, проведённых в любой точке «шапочки»:

в гномонической проекции (центральное проектирование из центра Земли);

в ортографической проекции (параллельное проектирование в направлении, перпендикулярном данной касательной плоскости). Смотри рисунки 21, а, б.

Вместо заключения

Вот пока и весь рассказ об основных принципах и конкретных способах изображения земной поверхности на карте. Тому, кто захочет бы познакомиться с наукой о «портретах Земли» — картографией — глубже, подробнее и систематичнее, мы посоветовали бы прежде всего внимательнее просмотреть какой-нибудь большой атлас, обращая особое внимание на различие применяемых в нём проекций, и попытаться уяснить самостоятельно (с помощью, быть может, довольно кратких пояснений, приводимых обычно в атласах) причины этого различия. Правда, при этом вы, возможно, обогатитесь не столько ответами, сколько новыми вопросами. Но тем лучше!

Систематическое (но весьма насыщенное и потому значительно более трудное, чем в этой статье) освещение предмета вы найдёте в статье «Картографические проекции» последнего издания Большой Советской Энциклопедии. В очень богатой историческим материалом статье «Карты географические», помещённой там же, вы найдёте дальнейшие указания на литературу.