Попробуйте представить себе всё многообразие смысловых оттенков слова «класс»: «рабочий класс», «ученик 10-го класса», «каюта 1-го класса»,
«класс млекопитающих»... Сколь различными ни казались бы эти оттенки, слово
«класс» во всех случаях имеет одно и то же происхождение — оно всегда
связано с классификацией, или разбиением, какого-либо
множества на непересекающиеся классы. Понятие «класс» и его многочисленные
сородичи (семейство, тип, категория, вид, сорт, род, разряд и другие) широко
используются буквально во всех областях человеческой деятельности. Например,
когда нам требуется изучить объекты какого-нибудь множества в связи с какими-нибудь их свойствами, мы стремимся разбить это множество на классы
так, чтобы все элементы одного класса вели себя одинаковым образом по отношению к интересующим нас свойствам, и тогда появляется возможность
изучать целый класс объектов по одному его представителю. Так, биологи
изучают не каждое растение в отдельности, а разбивают все растения на классы, семейства, роды и виды, так что при изучении, скажем, семейства
лютиковых один цветок выступает как представитель целого семейства (или
вида). При изучении класса по его представителю последний обычно стараются
выбрать наиболее простым с точки зрения других (не интересующих нас в данный
момент). свойств. Каждый из вас неоднократно пользовался такой возможностью,
например, при решении уравнений, заменяя одно уравнение другим, более простым, но имеющим те же корни, т. е. содержащимся в классе уравнений, равносильных данному.
Рисунок 1
Рисунок 2
Для разбиения множества, т. е. для такого распределения его элементов по классам, при котором каждый элемент попадает в один и только один класс,
обычно используют различные признаки, присущие элементам данного множества.
Например, предметы, изображённые на рисунке 1, можно разбить на классы
по цвету (рис. 2, а), по форме
(рис. 2, б) или по какому-нибудь другому признаку.
Впрочем, для разбиения множества на классы нам нужны не столько
свойства, присущие каждому элементу в отдельности, сколько
правила, указывающие, в один или в разные классы следует отнести два произвольно выбранные элемента данного множества. Например, все прямые
плоскости можно разбить на классы, если договориться две прямые относить в один класс в том и только в том случае, когда они параллельны, В полученном
разбиении любые две (не обязательно различные)
прямые одного класса параллельны, а любые две прямые из разных классов не параллельны. В этом примере мы пользуемся не признаком, которым обладает или не обладает каждая отдельно взятая прямая, а свойством, относящимся к парам прямых (прямые $a$ и $b$ параллельны или не параллельны). Про построенное разбиение прямых говорят, что оно индуцировано отношением
параллельности. О рассмотренных выше разбиениях предметов
рисунка 1 также можно сказать, что они индуцированы некоторыми
отношениями. Так, разбиение по цвету индуцировано отношением «иметь
одинаковый цвет».
Вместе с тем, не всякое отношение между элементами множества индуцирует
разбиение этого множества на классы. Например, если бы мы попытались всех
людей распределить по непересекающимся группам так, чтобы любые два человека
одной группы уважали друг друга, а два человека из разных групп не уважали
бы или не знали друг друга, то, очевидно, из этой затеи ничего бы не вышло.
Проверьте, будет ли отношение перпендикулярности
индуцировать разбиение всех прямых плоскости.
Чтобы выяснить и точно сформулировать условия, при которых отношение
между элементами множества индуцирует разбиение этого множества на классы,
уточним сначала само понятие отношения.
Что такое отношение?
Начнём с того, что вспомним нeкоторые знакомые отношения. Так, в школьной
математике вам часто встречались отношение равенства (чисел, фигур,
функций), отношения «больше» и «меньше» для чисел, отношение делимости для целых чисел, отношения параллельности и перпендикулярности для прямых и многие другие. В повседневной жизни распространёнными отношениями между
людьми являются отношения старшинства, родства, соседства, товарищества,
принадлежности к одной нации, профессии.
Теперь всмотримся внимательнее в какое-нибудь одно отношение, например, в отношение равенства чисел. Числовые равенства бывают верные (истинные) и неверные (ложные). Например, равенство $5=5$ верно, а $5=2$ неверно. Если же $x_1$ и $x_2$ — неизвестные числа, то равенство $x_1=x_2$ (высказывание
«$x_1$ равно $x_2$» не имеет определённого значения: оно зависит от «неизвестных» $x_1$, $x_2$, является их функцией: при каждых конкретных
числовых значениях $x_1$, $x_2$ оно будет истинным или ложным.
В общем случае отношением бинарным (или двуместным) на множестве $M$ мы будем называть высказывание об элементах множества $M$, зависящее от двух
переменных и превращающееся в истинное или ложное высказывание при подстановке в него вместо переменных любых конкретных элементов из $M$.
Обычно отношение записывают в виде $x_1\mathrel{\Theta}x_2$ ($x_1=x_2$,
$x_1\lt x_2$, $x_1\parallel x_2$, $x_1\perp x_2$ и т. п.). Часто вместо
«отношение $x_1\mathrel{\Theta}x_2$» говорят просто «отношение $\Theta$».
Например, вместо «отношение $x_1=x_2$» мы говорим «отношение равенства».
Аналогичный смысл имеют термины «отношение порядка», «отношение
параллельности», «отношение соседства» и т. п. Если отношение
$a\mathrel{\Theta}b$ истинно, то говорят также, что $a$ и $b$ связаны
отношением $\Theta$ или находятся в отношении $\Theta$. Если отношение
$\Theta$ обладает тем свойством, что из истинности $a\mathrel{\Theta}b$
всегда следует истинность $b\mathrel{\Theta}a$, то оно называется
симметричным. (В дальнейшем мы будем иногда называть —
симметричность «свойством 1».) Например, отношения параллельности и перпендикулярности прямых симметричны, а отношение $\lt$ на множестве
действительных чисел не симметрично ($5\lt8$ истинно, а $8\lt5$ ложно).
Отношение $\Theta$ на множестве $M$ называется рефлексивным
(«свойство 2»), если $a\Theta a$ истинно для любого элемента $a$ из $M$, и транзитивным («свойство 3»), если из истинности
$a\mathrel{\Theta}b$ и $b\mathrel{\Theta}c$ следует истинность
$a\mathrel{\Theta}c$. Например, отношение равенства чисел рефлексивно и транзитивно, отношение перпендикулярности прямых не рефлексивно и не транзитивно, а отношение «меньше» для чисел транзитивно, но не рефлексивно.
Задача. Выясните, какими из свойств 1—3 обладают
отношения делимости для целых чисел, отношение «пересекаться» (т. е. иметь
хотя бы одну общую точку) для прямых плоскости и отношение соседства для людей.
Отношения эквивалентности
Вернёмся теперь к интересующему нас вопросу: какие отношения,
определённые на некотором множестве $M$, индуцируют разбиения этого
множества на классы? Иначе говоря, какими свойствами должно обладать
отношение $\Theta$, в соответствии с которым множество М можно разбить на такие непересекающиеся классы, чтобы
- любые два элемента (различные или одинаковые) из одного класса
находились в отношении $\Theta$,
- никакие два элемента из разных классов не находились в отношении
$\Theta$?
На этот вопрос отвечает следующая
Теорема. Отношение $\Theta$ на множестве $M$ тогда и только тогда
индуцирует разбиение множества $M$, когда оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Доказательство. Пусть отношение $\Theta$ индуцирует разбиение
множества $M$, т. е. множество $M$ можно разбить на классы, удовлетворяющие
условиям 1) и 2). Какой бы элемент $a$ мы ни взяли, он принадлежит
некоторому классу нашего разбиения. Согласно 1), $a$ находится в отношении
$\Theta$ с самим собой: $a\mathrel{\Theta}a$ истинно, так что $\Theta$ —
рефлексивно. Если, далее, $a\mathrel{\Theta}b$ истинно, то, как следует из 1)—2), элементы $a$ и $b$ принадлежат одному классу разбиения. Тогда из 1)
следует, что истинно и $b\mathrel{\Theta}a$. Значит, для любых $a$, $b\in
M$ из $a\mathrel{\Theta}b$ следует
$b\mathrel{\Theta}a$, т. е. отношение $\Theta$ симметрично.
Не читайте дальше, пока сами не убедитесь в том, что отношение $\Theta$ транзитивно!
Таким образом, если отношение $\Theta$ индуцирует разбиение множества
$M$, то $\Theta$ рефлексивно, симметрично и транзитивно: свойства 1—3
необходимы для того, чтобы $\Theta$ индуцировало разбиение
множества $M$.
Теперь ясно, почему мы не смогли разделить человечество на группы уважающих друг друга людей и почему отношение перпендикулярности не индуцировало разбиение прямых плоскости. Отношения «уважения» и перпендикулярности не транзитивны (и не рефлексивны).
Докажем теперь достаточность свойств 1—3. Пусть $\Theta$
обладает свойствами 1—3, и $a$ — произвольный элемент множества $M$.
Обозначим через $M_a$ класс (множество) всех таких элементов $x$ из $M$, для которых истинно $a\mathrel{\Theta}x$:
$$
M_a=\{x\mid a\mathrel{\Theta}x\text{ — истинно}\}.
$$
Мы получим таким образом некоторое множество классов. Так как по свойству 1 истинно $a\mathrel{\Theta}a$, то $a\in M_a$ (по определению
класса $M_a$) и, следовательно, каждый элемент множества $M$ принадлежит
хотя бы одному из полученных классов. Покажем, что любые два класса $M_a$,
$M_b$ или совпадают, или не пересекаются. В самом деле, если $M_a$ и $M_b$
имеют хотя бы один общий элемент $c$, то $a\mathrel{\Theta}c$ и $b\mathrel{\Theta}c$. По свойству 2 из $b\mathrel{\Theta}c$ следует $c\mathrel{\Theta}b$, а из $a\mathrel{\Theta}c$ и $c\mathrel{\Theta}b$ по свойству 3 получим
$a\mathrel{\Theta}b$. Значит, $a\mathrel{\Theta}b$ истинно. Возьмём теперь
произвольный элемент $d$ из класса $M_b$. По определению класса $M_b$
истинно $b\mathrel{\Theta}d$, а по свойству 3 из $a\mathrel{\Theta}b$ и $b\mathrel{\Theta}d$ следует $a\mathrel{\Theta}d$; значит, $d\in M_a$. Итак,
если $d\in M_b$, то $d\in M_a$. Аналогично доказывается, что из $d\in M_a$
следует $d\in M_b$ (проведите соответствующие рассуждения сами). Тем самым
доказано, что $M_a=M_b$, т. е. классы, имеющие хотя бы один общий элемент,
совпадают. Таким образом, каждый элемент множества $M$ содержится в некотором классе и разные классы не пересекаются. Это и означает, что мы имеем разбиение множества $M$. Покажем, что это разбиение действительно
индуцируется отношением $\Theta$, т. е. выполняются условия 1)—2). Пусть
элементы $a$ и $b$ содержатся в одном классе. Так как $a\in M_a$, то это означает, что и $b\in M_a$ (в предыдущей фразе оба подлежащих совершенно
равноправны!), т. е. $a\mathrel{\Theta}b$. Итак, любые два элемента из одного класса находятся в отношении $\Theta$: выполняется условие 1).
Пусть теперь $a$ и $b$ — два произвольных элемента из разных классов, так что $M_a\ne M_b$. Если бы было $a\mathrel{\Theta}b$, то это означало бы, что $b\in M_a$, т. е. классы $M_a$ и $M_b$ имели бы общий элемент $b$. Но тогда,
по доказанному выше, было бы $M_a=M_b$, что противоречит условию. Значит,
$a\mathrel{\Theta}b$ ложно, т. е. элементы из разных классов не находятся в отношении $\Theta$ (выполняется условие 2)). Теорема доказана.
При фиксированном разбиении множества $M$ элементы, содержащиеся в одном
классе, обычно называют эквивалентными. В связи с этим всякое
рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называют отношением
эквивалентности, а сами классы получаемого разбиения — классами
эквивалентности.
Теперь доказанную выше теорему можно сформулировать короче: отношение
$\Theta$ на множестве $M$ тогда и только тогда индуцирует разбиение
множества $M$, когда оно является отношением эквивалентности.
Таким образом, если нам требуется выяснить, индуцирует ли некоторое
отношение $\Theta$ разбиение какоголибо множества $M$, то нужно проверить,
является ли отношение $\Theta$ отношением эквивалентности на $M$.
Например, множество всех окружностей плоскости распадается на классы
концентрических окружностей, поскольку отношение концентричности окружностей
рефлексивно, симметрично и транзитивно. (При этом мы, естественно, считаем,
что всякая окружность концентрична сама себе.) Весьма просто проверяется
также, что рефлексивно, симметрично и транзитивно отношение подобия
треугольников. Следовательно, множество всех треугольников разбивается на классы подобных треугольников.
Приведём один менее очевидный пример. Пусть $Q$ — множество всех дробей
вида $\dfrac ab$, где $a$, $b$ — целые числа и $b\ne0$. По каждой дроби
$\dfrac ab$ определим класс $Q_{a,b}$, относя дробь $\dfrac cd$ в этот класс
в том и только в том случае, когда $ad=bc$. Получится ли в итоге разбиение
всех дробей на непересекающиеся классы?
Мы определили некоторое отношение $\Theta$ на множестве $Q$:
$$
\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac cd\text{ тогда и только тогда, когда } ad=bc.
$$
Выясним, является ли $\Theta$ отношением эквивалентности.
1. Рефлексивность. Для любой дроби $\dfrac ab$:
$\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac ab$, поскольку $ab=ba$.
2. Симметричность. Если $\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac cd$,
то $ad=bc$, или $cb=da$. Последнее равенство означает, что $\dfrac cd\mathrel{\Theta}\dfrac ab$.
3. Транзитивность. Пусть $\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac cd$ и $\dfrac cd\mathrel{\Theta}\dfrac ef$, т. е. $ad=bc$ и $cf=de$.
Умножив последние равенства соответственно на $f$ и $b$, получим:
$$
adf=bcf,\quad bcf=bde.
$$
Отсюда имеем $adf=bde$ и $af=be$ (на $d$ можно сократить, поскольку
$d\ne0$!). Но $af=be$ как раз и означает, что $\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac ef$.
Таким образом, $\Theta$ — отношение эквивалентности и потому множество
всех дробей распадается на непересекающиеся классы эквивалентных (или, как говорят в школе, равных по величине) дробей. Итак, имея отношение
эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы,
а затем определить отношение эквивалентности, считая по определению
два элемента эквивалентными в том и только в том случае, когда они принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения. Например, таким
образом появляется отношение «быть одноклассниками»: сначала детей,
пришедших впервые в школу, разбивают (почти произвольно) на классы, а затем
уже детей, оказавшихся в одном классе, называют одноклассниками.
Нельзя ли сэкономить?
Если нам часто приходится проверять, будет ли заданное
отношение рефлексивным, симметричным и транзитивным, то естественно
возникает вопрос: не является ли какое-нибудь из указанных свойств 1—3 логическим следствием двух других (в этом случае нам не пришлось бы делать
проверку всех трёх свойств)?
Оказывается, это не так: свойства рефлексивности,
симметричности и транзитивности независимы. Чтобы доказать, что некоторое свойство не зависит от двух других, достаточно привести пример
отношения, обладающего двумя последними свойствами, но не обладающего
рассматриваемым.
Например, отношение $\le$ на множестве действительных чисел
рефлексивно и транзитивно, но не симметрично. Значит, симметричность не является следствием рефлексивности и транзитивности. Свойство транзитивности
также не вытекает из двух других. Например, для прямых плоскости отношение
«прямая $x_1$ совпадает с прямой $x_2$ или перпендикулярна к $x_2$»,
рефлексивно и симметрично, но не транзитивно. (Проверьте!)
Пример, показывающий независимость рефлексивности от двух
других свойств, постарайтесь привести сами.
Отношения эквивалентности в математике
Мы уже говорили о значении разбиений множества на классы (или, как теперь
можно сказать, отношений эквивалентности) в различных областях человеческой
деятельности. Очень важную роль играет отношение эквивалентности в математике. Кроме упоминавшихся ранее, можно привести много других примеров
отношений эквивалентности, с которыми вы встречались в школьной математике.
Таковы, например, отношение «иметь одну и ту же абсолютную величину» для чисел, отношение равенства двух алгебраических выражений, отношение
равновеликости многоугольников и многие другие.
Рассмотрим подробнее два примера, показывающие, как отношения
эквивалентности используются при образовании важнейших понятий математики.
Натуральные числа. Понятие натурального числа было выработано
человечеством в процессе длительного исторического развития. Прежде чем человек научился абстрактно представлять себе число 5, он научился
откладывать 5 камешков, делать 5 зарубок, завязывать
5 узелков и т. п. и сравнивать эти «стандартные» множества с другими
встречающимися ему множествами путём установления взаимно однозначного
соответствия между ними. Этот процесс абстрагирования «в ускоренном
темпе» каждый на нас проходит в детстве, приучаясь сначала выделять два глаза, два яблока, две машины и т. д. и только затем уже представлять себе
число 2. Теперь, когда этот путь абстрагирования каждым из нас, надо
полагать, уже давно пройден, попытаемся уяснить себе сущность понятия
натурального числа. С этой целью определим следующее отношение $\Theta$
между конечными множествами: будем считать, что два конечных множества $M$ и $N$ находятся в отношении $\Theta$ тогда и только тогда, когда существует
взаимно однозначное отображение множества $M$ на $N$. (О понятии отображения
множеств можно прочесть, например, в статье
А. Н. Колмогорова
«Что такое функция» в № 1 «Кванта» за 1970 год.) Легко проверить,
что введённое таким путём отношение $\Theta$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. (Проверьте!) Следовательно, оно является отношением
эквивалентности, и потому все конечные множества разбиваются в соответствии
с ним на классы. Любые два множества из одного класса полученного разбиения
и называют эквивалентными. Впрочем, чаще, — чтобы отличить
полученное разбиение от прочих разбиений, индуцируемых произвольными
рефлексивными, симметричными и транзитивными отношениями (напомним, что любое такое отношение есть отношение эквивалентности; примером
может служить хотя бы отношение, отождествляющее, с одной стороны, все чётные числа, а с другой, — все нечётные) — эквивалентные в этом
смысле множества называют равномощными, или равночисленными. Например в классе, содержащем множество букв
$\{$а, б, в, г, д$\}$ будут содержаться множество пальцев на руке человека,
множество космонавтов космических кораблей «Восход» и «Восход-2», множество
«частей света» (без Антарктиды!) и т. п. Уже из этого небольшого перечня
видно, что в один класс входят множества самой различной природы и общим для всех них является лишь то, что все они равномощны, т. е. любое одно из них можно взаимно однозначно отобразить на любое другое. Теперь сформулируем
определение натурального числа: натуральным числом назовём всякий
класс равномощных конечных множеств.
Такое определение поначалу может немало удивить: такая, вроде бы, простая
штука, как натуральное число, определяется через что-то громоздкое и малообозримое — через целый класс множеств! Однако если в это определение хорошенько вдуматься, свыкнуться с ним, то придётся согласиться,
что оно действительно отражает «количественную суть» понятия натурального
числа. В этом определении проявляется так называемая абстракция
отождествления: сначала мы все конечные множества разбиваем на классы
равночисленных множеств, затем «отождествляем» все множества одного класса и уже результат этого отождествления мыслим как некоторое натуральное число.
Поскольку каждый класс равномощных множеств вполне определяется любым
своим представителем, то можно говорить о натуральном числе, определяемом
любым множеством данного класса. Число, определяемое множеством $M$,
обозначают через $|M|$ и называют порядком, или мощностью,
множества $M$. Для натуральных чисел можно ввести систему обозначений, не связанную с конкретными множествами. Конечно, это можно сделать по-разному.
Исторически так и было: у разных народов были разные системы обозначений и названий натуральных чисел. (Подробнее об этом сказано в статье
И. М. Яглома «Системы счисления», см. «Квант», № 6, 1970). Придерживаясь общепринятой в настоящее время системы обозначений и названий, можно сказать, что число 1 (единица) есть класс множеств,
равномощных множеству столиц Советского Союза, число 2 (два) есть класс
множеств, равномощных множеству глаз человека, и т. д. Добавляя к любому
конечному множеству ещё один элемент, мы получим новое множество, не равнемощное исходному. Осуществляя этот процесс, мы получим бесконечную
последовательность не равномощных друг другу множеств и определяемый ими ряд натуральных чисел:
$$
1,~2,~3,~{\ldots}.
$$
Рациональные числа. Обычно говорят, что рациональным числом
называется дробь вида $\dfrac ab$, где $a$, $b$ — целые числа и $b\ne0$.
Однако такое определение не полно, поскольку из него непосредственно не следует, равны или нет, например, числа $\dfrac12$ и $\dfrac36$. Поэтому
приходится сразу же добавлять: рациональные числа $\dfrac ab$ и $\dfrac cd$
равны в том и только в том случае, когда $ad=bc$. В итоге получается, что рациональное число это не просто дробь, а целый класс дробей. Таким
образом, понятие рационального числа более аккуратно вводится следующим
образом.
Рассмотрим множество $Q$ всех дробей и определим на $Q$ отношение
$\Theta$, положив $\dfrac ab\mathrel{\Theta}\dfrac cd$ тогда и только тогда,
когда $ad=bc$. Выше мы уже показали, что такое $\Theta$ есть отношение
эквивалентности и, значит, множество $Q$ разбивается на непересекающиеся
классы. Любые две дроби одного класса указанного разбиения мы и будем
называть эквивалентными. Теперь можно сформулировать определение:
рациональным числом называется всякий класс эквивалентных дробей.
После всего сказанного ранее по поводу определения натурального числа
мыслить себе рациональное число как класс дробей совсем просто.
Как складывать и умножать классы? После введённых выше определений
натурального и рационального чисел естественно возникает вопрос: как определить арифметические операции над числами-классами? Для примера покажем, как определить умножение рациональных чисел, считая, что все операции над целыми числами нам уже знакомы.
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два рациональных числа-класса. Возьмём из этих
классов по какой-нибудь одной дроби $\dfrac ab$ и $\dfrac cd$ и определим их произведение, положив
$$
\dfrac ab\cdot\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}.
$$
Полученная дробь $\dfrac{ac}{bd}$, как и всякая дробь, принадлежит вполне
определённому классу дробей $\gamma$. Этот класс мы и назовём
произведением классов $\alpha$ и $\beta$: $\alpha\beta=\gamma$.
Таким образом, чтобы перемножить классы, нужно выбрать из них по одному
(любому!) представителю, перемножить эти представители как дроби и взять
класс, содержащий полученную в итоге дробь.
Сразу же, однако, возникает вопрос: не может ли получиться при умножении
другой класс, если выбрать другие представители из классов $\alpha$ и $\beta$? Покажем, что это не так.
Пусть $\dfrac{a'}{b'}$ и $\dfrac{c'}{d'}$ — какие-нибудь другие
представители классов $\alpha$ и $\beta$. Так как $\dfrac ab$ и $\dfrac{a'}{b'}$ принадлежат одному классу $\alpha$, то $\dfrac
ab\mathrel{\Theta}\dfrac{a'}{b'}$, т. е. $ab'=ba'$. Аналогично получим
$cd'=dc'$. Перемножая почленно два последних равенства, найдём
$acb'd'=bda'c'$. Но это означает, что $\dfrac{ac}{bd}\mathrel{\Theta}\dfrac{a'c'}{b'd'}$. Значит, «новое»
произведение дробей $\dfrac{a'c'}{b'd'}$ принадлежит тому же классу
$\gamma$, что и $\dfrac{ac}{bd}$.
Упражнения
- Пусть $\Theta_1$ и $\Theta_2$ — два отношения эквивалентности на некотором множестве $M$. Будут ли отношением эквивалентности на $M$
отношения $\Theta$, определённые следующим образом:
- $a\mathrel{\Theta}b$ истинно тогда и только тогда, когда истинно
$a\mathrel{\Theta_1}b$ или $a\mathrel{\Theta_2}b$;
- $a\mathrel{\Theta}b$ истинно тогда и только тогда, когда истинны
$a\mathrel{\Theta_1}b$ и $a\mathrel{\Theta_2}b$;
- $a\mathrel{\Theta}b$ истинно тогда и только тогда, когда истинно
$a\mathrel{\Theta_1}b$ и ложно $a\mathrel{\Theta_2}b$?
- Пусть $f(x)$ — функция на множестве действительных чисел. Определим
отношение $\Theta_f$, положив $a\mathrel{\Theta_f}b$ истинным тогда и только
тогда, когда $f(a)=b$. Что можно сказать о графике функции $f(x)$, если
отношение $\Theta_f$ симметрично? Найти функцию $f(x)$, для которой
$\Theta_f$ является отношением эквивалентности. Каковы в этом случае классы
эквивалентности?
Только ли математика? Что читать дальше?
В самом начале этой статьи говорилось об универсальном
характере и применимости разбираемых в ней понятий. В дальнейшем же, однако,
изложение носило по возможности «чисто математический» характер. Это не случайно: вопрос об отношениях эквивалентности (и связанных с ними
разбиениях) в не рамок математики настолько интересен и глубок, что вскользь
его разбирать не стоит. Читателю, заинтересовавшемуся этой проблематикой, мы прежде всего хотим порекомендовать две изданные в издательстве «Наука»
книги: «Проблемы узнавания» М. М. Бонгарда (1967) и «Равенство. Сходство. Порядок» Ю. А. Шрейдера (1971).
Многое в них может показаться вам (и совершенно справедливо!) довольно
трудным и сложным, но то, что вы при внимательном чтении усвоите из этих
книг, всё равно послужит лучшей подготовкой к более широкому обсуждению
понятия эквивалентности, которое редакция «Кванта» предполагает провести в будущем. Предлагаем вам также в связи с этим перечитать статью
В. Раскина «Ещё раз о машинном переводе» из «Кванта» № 12 за 1971 год и попытаться найти в ней примеры отношений эквивалентности;
это послужит неплохим самоконтролем усвоения изложенных выше понятий.
