Кохась К. П.

71 узелокКохась К. П. 71 узелок // Квант. — 2024. — № 11/12. — С. 34‍—‍36.‍‍

— Разумеется, произведения иску-у-усства не стареют, — объяснял коллега Спрудль. — Но я не люблю бессмысленные финтифлюшки. Хочется, чтобы антикварная ве-е-ещь была бы функциональной, чтобы она была не просто древней, но при этом и — бульк — как бы это сказать, высокотехнологичной в своём классе.

— Понимаю, — сказал Горгулий. — Думаю, я смогу вам помочь. Вы знаете, что такое египетский треугольник?

— Пе-е-ервый раз слышу, бульк!

— Совершенно гениальный инструмент, хотя и кажется немного простоватым. Использовался при строительстве египетских пирамид!

— Что вы говорите, — заинтересовался коллега Спрудль.

— Это верёвка, связанная в кольцо, на которой завязано 12 узелков. С её помощью отмерялись прямые углы. Это потрясающе! Чтобы отмерить прямой угол, вы берёте первый, четвёртый и восьмой узелки и тянете их в стороны, чтобы получился треугольник. Тогда угол, в вершине которого находится четвёртый узелок, — прямой!

— Любопытно, любопытно, — пробормотал коллега Спрудль, разглядывая чертёж (рис. 1).

— Но мало кто знает, — продолжал Горгулий, — что имеется куда более продвинутый вариант этого инструмента. Это... древнешумерский треугольник!

Горгулий достал из ящика стола красивую, довольно потёртую верёвку, на которой было завязано очень много узелков.

— От древних шумеров мало что осталось, — с нотками сожаления произнёс Горгулий. — Истинные шедевры слишком хрупки. Это всего лишь более поздняя имитация. Но время не в силах стереть интеллектуальную ауру этого предмета! Смотрите, здесь не 12 узелков, а существенно больше — 71. В то время ещё не додумались до идеи завязать эту верёвку в кольцо. Для построения прямого угла $ABC$‍‍ мы от первого узла $A$‍‍ должны отсчитывать узлы: 21-й узел обозначим $B$‍,‍ а 42-й — $C$‍‍ (рис. 2). Последний, т. е. 71-й узел, совместим с узлом $A$‍.‍ Конечно, отсчитывать десятки узелков довольно хлопотно, — импровизировал Горгулий, — но уверяю вас, оно того стоит. Это вам не грубая поделка 3, 4, 5. Фактически, это в 5 раз более точное построение! Видите: потянув за узлы $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍,‍ мы получаем треугольник со сторонами 20, 21 и 29, и он прямоугольный!

— Беру! — клюнул, наконец, коллега Спрудль.

---

— Следующий год — год Пифагора, — сказала Огрыза, заходя в комнату. — Смотрите, какой замечательный новогодний флажок я купила у коллеги Спрудля. Очень красиво, да и недорого!

— Я тоже купил у него флажок, — сказал дятел Спятел.

— И я, — поддакнула Бусенька.

— Вы, кажется, очень довольны своими покупками, — сказал таракан Кузька. — Неужели коллега Спрудль стал положительным персонажем?

— Вряд ли, — с сомнением сказала Огрыза, — но ему единственному пришла в голову очень удачная идея делать и продавать новогодние флажки в форме прямоугольного треугольника.

— При чём тут прямоугольные треугольники? Что тут удачного? — не понял Кузька.

— Ну как же, с именем Пифагора связана знаменитая теорема, — объяснил дятел Спятел. — В любом прямоугольном треугольнике с катетами $a$‍‍ и $b$‍‍ и гипотенузой $c$‍‍ выполняется равенство $$ a^2+b^2=c^2. $$

— Не может быть! — воскликнул Кузька. — В любом прямоугольном треугольнике?

— В любом! — подтвердил дятел Спятел.

— Я должен это проверить! Дайте мне ваши флажки! — сказал Кузька и убежал за рулеткой.

Бусенька, дятел Спятел и Огрыза положили на стол свои флажки, и Кузька принялся за измерения, бегая с рулеткой от одного флажка к другому. Время от времени он откладывал рулетку и кружился на одном месте, словно танцевал.

— Всё-таки это завораживающее зрелище, когда Кузька что-то вычисляет, — похвалила Бусенька. — Эти его приёмы счёта на лапах порою выглядят как настоящий балет.

— Готово! — доложил Кузька, — я всё проверил. Диагноз ясен: вы слишком увлекаетесь авторитетами. Теорема Пифагора неверна!

— Как неверна? Почему неверна? — хором спросили Бусенька и дятел Спятел.

— Кажется, кто-то из нас спятил, — предположила Огрыза.

— Я очень аккуратно вычислил стороны ваших флажков в миллиметрах и для каждого из них подсчитал величину $c^2-a^2-b^2$‍.‍ Для бусенькиного флажка эта величина равна 220, для огрызиного — 265, а для флажка дятла Спятла — 317.

Все с удивлением смотрели на Кузьку.

— Забавно, — сказал, наконец, дятел Спятел. — Я заплатил за свой флажок как раз 3 рубля 17 копеек.

— A я за свой 2 рубля 65 копеек, — сказала Огрыза.

— А я за свой, — театрально закатив глаза, медленно произнесла Бусенька, — 2 рубля 20 копеек!

Теперь уже Кузька смотрел на остальных, как на новые ворота.

— Мистика какая-то, — сказал он.

— По крайней мере, из твоих вычислений ясно, что наши флажки — это не прямоугольные треугольники, — сказала Бусенька. — Угол, который мы считали прямым, на самом деле чуть-чуть больше $90^\circ$‍.‍ На глаз разница практически незаметна. Интересно, как коллега Спрудль назначает цену?

— По площади, — сказала Огрыза. — Он при мне измерил катеты флажка, перемножил их, поделил на 2 и сообщил: «Площадь флажка столько-то квадратных сантиметров», а потом вычислил цену флажка, умножив площадь на цену одного квадратного сантиметра.

— Но ведь флажок непрямоугольный, — возмутился дятел Спятел, — его площадь меньше половины произведения сторон! Значит, он завысил площадь, а вместе с ней и цену!

— Может, он ошибается, потому что думает, что флажки у него прямоугольные, — предположила Бусенька. — А то, что все его ошибки в его пользу, — это рефлекс, который он вырабатывал годами. Как он выкраивает флажки? С помощью угольника?

— Ааааа... Кажется, я знаю как! — догадался дятел Спятел. — С помощью египетского треугольника! Точнее, не египетского, а древнешумерского!

— Древне... какого? — не понял Кузька.

— Древнешумерского! Горгулий завязал на старой верёвке 71 узелок и продал её коллеге Спрудлю по цене антиквариата. Будто бы это древний инструмент для построения прямых углов. Узелки завязаны через равные расстояния. Совмещая первый узел с последним, мы строим с помощью верёвки треугольник со сторонами 20, 21 и 29.

— $20^2+21^2=29^2$‍,‍ — быстро подсчитал Кузька. — Это же настоящий прямоугольный треугольник! Он древний?

— Очень древний, — подтвердила Бусенька, — и довольно-таки шумерский. Вот только мне кажется, что очень неудобно всё время совмещать первый и последний узел. Почему бы не связать концы верёвки в том месте, где совмещаются узлы?

— Действительно неудобно, — согласилась Огрыза. — Видимо, коллега Спрудль так и сделал. Но если при этом он совместил крайние узлы, то у него получился двойной или даже тройной узел — очень неуклюжая конструкция.

— Я думаю, он не стал бы завязывать лишний узел, — сказал дятел Спятел. — Ведь это была бы очевидная подделка, уменьшающая историческую ценность инструмента. Наверно, он завязал незаметный узелок, а то и вовсе склеил концы верёвки.

— Если предположить, что он удлинил при этом верёвку на одно звено, — подытожила Бусенька, — то получится, что для откладывания прямого угла он строит треугольник $ABC$‍‍ со сторонами 20, 21 и 30. В таком треугольнике $$ \cos\angle ABC=\dfrac{20^2+21^2-30^2}{2\cdot20\cdot21}\approx-0{,}07, $$ что соответствует $\angle ABC\approx94^\circ$‍.‍

— Подумать только, лишние 4 градуса, — сказал дятел Спятел, внимательно рассматривая свой флажок.

— Но как же так получилось, — спросил Кузька, — что цена флажка равна величине $c^2-a^2-b^2$‍?‍

— У наших флажков углы $ABC$‍‍ одинаковые, поэтому величина $c^2-a^2-b^2$‍‍ пропорциональна площади, — ответила Огрыза, — а то, что коэффициент пропорциональности равен 1, просто совпадение.

— Не может быть! — не поверил Кузька.

Вопросы

1. Вооружившись калькулятором, найдите, сколько стоит один квадратный сантиметр флажка у коллеги Спрудля.
2. Большую ли прибыль получал коллега Спрудль из-за неправильного подсчёта площади, иными словами, на сколько процентов он завышал площадь флажка?