«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Во всех клетках таблицы $100\times 100$ стоят плюсы. Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца. Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов?
Рассмотрим последовательность многочленов $P_0$, $P_1$, $P_2$, $\ldots$, определяемую условиями $P_0(x)=1$, $P_1(x)=x$, $$ P_{n+1}(x)=x\,P_n(x)-P_{n-1}(x),\quad n\ge1.\tag1 $$ Докажите равенства
Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живёт не меньше $k$ жителей ($d_1\ge d_2\ge d_3\ge \ldots$), и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения доме ($c_1\ge c_2\ge c_3\ge \ldots$). Докажите равенства
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $p(n)$ число разбиений $n$ в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; рис. 2). Количество различных чисел в…
Назовём шахматный турнир, в котором $n$ игроков сыграли друг с другом по одной партии, логичным, если для любых двух игроков выполняется следующее условие: тот, кто набрал не больше очков, не выиграл и в личной встрече. (Напомним, что за победу даётся 1 очко, за ничью —…