«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
По кругу выписано $n\ge3$ натуральных чисел, причём отношение суммы двух соседей любого из этих чисел к нему самому является натуральным числом. Докажите, что сумма всех таких отношений
Через вершину $A$ треугольника $ABC$, в котором $AB\ne AC$, проводятся всевозможные прямые. Докажите, что:
Докажите, что если числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_m$ отличны от нуля и для любого целого $k=0$, 1, $\ldots$, $n$ ($n\lt m-1$) $$ a_1+a_2\cdot2^k+a_3\cdot3^k+\ldots+a_m\cdot m^k=0, $$ то в последовательности $a_1$,…