«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Дано натуральное число $N$. Выпишем все его делители $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_n$ и для каждого из них найдём, сколько делителей оно имеет. Докажите, что для полученных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$,…
Последовательность $x_n$ задаётся условиями: $$ x_1=2;\quad x_{n+1}=\dfrac{2+x_n}{1-2x_n}\quad (n=1{,}~2{,}~3{,}~\ldots). $$ Докажите, что
Точки $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины тетраэдра. Докажите, что
Докажите, что для неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию $x^2+y^2+z^2=1$, выполнено неравенство $$ \dfrac x{1-x^2}+\dfrac y{1-y^2}+\dfrac z{1-z^2}\ge\dfrac{3\sqrt3}2. $$