«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Текст задачи готовится
Дано простое число $p\gt2$ и целое число $k$ такое, что $0\lt k\lt p-1$. Докажите, что существует ровно $\dfrac{p-1}2$ пар целых чисел $a$ и $b$ таких, что $0\lt a\lt b\lt p$ и $\left\lfloor\dfrac{pa}b\right\rfloor=k$.
Дан правильный 111-угольник, длина стороны которого равна 1. Докажите, что в нём найдутся две диагонали, длины которых отличаются на 1.