Текст статьи Щегольков Е. А. Вступительные экзамены по математике на математическом факультете МГПИ им. В. И. Ленина в 1970 году // Квант. — 1971. — № 1. — С. 45—50.
Письменный экзамен по математике на нашем факультете в 1969 году (отчёт о нём можно прочитать в «Кванте» № 3 за 1970 г.) был несколько необычным. Необычность состояла в некотором подражании конкурсным экзаменам на мехмате МГУ. В результате из 475 поступавших 224, т. е. около половины, написали работу на двойку и выбыли из дальнейшей «борьбы». Такой способ отбора абитуриентов представляется не вполне подходящим для педагогического института, слишком много кандидатов оказалось вне личного знакомства с экзаменаторами.
В 1970 году приёмная комиссия математического факультета решила пойти по другому пути. В письменную работу были включены четыре задания хорошо знакомые школьникам:
- Стереометрическая задача с приложением тригонометрии.
- Задача на составление квадратного уравнения с физическим или другим содержанием.
- Алгебраическое уравнение или неравенство.
- Тригонометрическое уравнение.
Все задания не требовали каких-либо особых знаний или натренированности. Но в то же время они предполагали основательные знания школьной математики и известные способности у абитуриентов. На выполнение письменной работы отводилось 4 часа.
При оценке письменных работ «пять» ставилось, лишь если все задачи были решены; «четыре» — если все задачи были решены, но с несущественными недочётами. «Два» ставилось, например, если первые две задачи не были решены из-за грубых ошибок. При этом оценка «три» приобрела больший удельный вес и не выбивала абитуриента из участия в конкурсе.
В 1970 году на математический факультет поступало 508 человек, а мест было 175, конкурс — около трёх человек на место.
Из 508 абитуриентов, писавших письменную работу, 120 написали её на «четыре» и «пять», 233 на «три» и 155 на «два».
В качестве примера ниже мы разберём вариант письменной работы и укажем на типичные ошибки, допущенные абитуриентами при его решении.
Вариант
- Длина образующей конуса равна
$l$, угол образующей с плоскостью основания равен$\alpha$. Найти объём описанной около конуса пирамиды, основанием которой служит ромб с острым углом$\beta$. - За
$n$ часов трактор вспахивает на$p$ гектаров больше лошади. Сколько гектаров вспашет за$n$ часов лошадь и сколько гектаров вспашет за$n$ часов трактор, если трактор вспахивает один гектар на$t$ часов скорее лошади. - Решить неравенство $$\sqrt{1+2x}-\sqrt{x+4}<1.$$
- 4. Решить уравнение $$\dfrac{3(\cos2x+\ctg2x)}{\ctg2x-\cos2x}-2(\sin2x+1)=0.$$
Решения
1. Построим конус (см. рисунок),
Рассмотрим грань
Найдём объём пирамиды:
$$V=\dfrac{1}{3}hS,\tag1$$
где
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
Центр окружности основания конуса лежит на пересечении диагоналей
описанного ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят друг друга
и углы ромба пополам, поэтому треугольники
Из треугольника
Из этих соотношений получаем $$ AC=\dfrac{2l\cos\alpha}{\sin\dfrac\beta2},\quad BD=\dfrac{2l\cos\alpha}{\cos\dfrac\beta2}, $$ откуда $$ S=\dfrac{4l^2\cos^2\alpha}{\sin\beta}.\tag3 $$
Подставляя (2) и (3) в (1), получим $$ V=\dfrac{2l^3\sin2\alpha\cos\alpha}{3\sin\beta}. $$
Некоторые из поступавших площадь ромба находили как площадь
параллелограмма, по высоте
Заметим, что часть абитуриентов, используя второй способ вычисления
площади ромба, ошибочно полагала, что высота
Как вы уже заметили, при решении этой задачи трижды пришлось решать прямоугольные треугольники. Поступающие и здесь допускали ошибки. Твёрдое умение решать прямоугольные треугольники является непременным условием успешного решения большинства стереометрических задач.
2. Пусть трактор вспахивает за
Лошадь вспахивает за
По условию задачи
При составлении исходного уравнения из величин
При решении задач с конкретным физическим или другим содержанием следует быть особенно внимательным и всё время проверять свои рассуждения. Формальные выкладки должны соответствовать действительному положению вещей. Кроме того, следует помнить, что целью решения такого рода задач является не решение составленного уравнения, а получение ответа на поставленный в задаче вопрос.
3. Найдём область допустимых значений для
В отмеченной ОДЗ обе части последнего неравенства неотрицательны; возведя их в квадрат получим $$ \sqrt{x+4}\gt\dfrac x2-2.\tag2 $$ Левая часть неравенства (2) положительна, а правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и нулём. Поэтому рассмотрим два случая:
1)
При таких значениях
2)
Решая первое из этих неравенств, получим
Решая (3), находим
4. Запишем уравнение следующим образом:
$$
3\left(\cos2x+\dfrac{\cos2x}{\sin2x}\right)-2(\sin2x+1)=0.
$$
Теперь нам легко определить ОДЗ. В самом деле, при
$1+2\sin2x=0$; $1+\sin2x=0$.
Решая первое уравнение, находим $$ \begin{gather*} \sin2x=-\dfrac12,\\ x=(-1)^{k+1}\dfrac\pi{12}+\dfrac{\pi k}2 \quad (k=0{,}~\pm1{,}~\pm2{,}~\ldots). \end{gather*} $$
Решая второе уравнение, находим
Итак, решениями исходного уравнения являются лишь значения
$$
x=(-1)^{k+1}\dfrac\pi{12}+\dfrac{\pi k}2\quad(k=0{,}~\pm1{,}~\pm2{,}~\ldots).
$$
Многие поступавшие при решении данного уравнения не учитывали ОДЗ и причисляли к решениям значения
Из 68 работ этого варианта 3 работы оценены на «пять», 8 работ — на «четыре», 39 работ — на «три» и 18 работ — на «два».
Отметим ошибки, которые допускали абитуриенты при решении задач в других вариантах, а также общие недостатки при выполнении письменной работы.
При решении стереометрической задачи во многих случаях чертежи были неудачными (неясными, грязными) или просто неверными. Происходило это оттого, что решающий задачу неправильно представлял себе или неправильно изображал положение данной фигуры, тела, сечения и других элементов, особенно когда речь шла об описанных или вписанных телах.
Чертеж и последующие построения во многих случаях не сопровождались необходимыми пояснениями, не давалось обоснования выводов, получаемых в результате построений.
Отсутствие пояснений к построениям на чертеже и обоснований выводов влекло за собой снижение оценки за решение стереометрической задачи.
В задаче с содержанием на составление уравнения некоторые не сумели по условиям задачи составить уравнение.
Другие, правильно составив уравнение и решив его, не исследовали полученные корни с точки зрения пригодности их в качестве решения задачи.
Третьи, хотя и исследовали полученные корни уравнения, но не смогли выбрать нужное решение.
При решении алгебраических и тригонометрических уравнений часто сокращали на выражение, содержащее неизвестные. В результате теряли корни уравнения. В других случаях не обращали внимания на ОДЗ и из-за этого получали посторонние корни.
Несколько слов об устном экзамене. Экзаменационные билеты содержали два вопроса. Первый по геометрии, второй по алгебре или тригонометрии. Формулировки экзаменационных вопросов почти дословно повторяли формулировки программы вступительных экзаменов в вузы 1970 года.
При ответах на вопросы билета требовалось дать аккуратное доказательство теоремы или вывод формулы, точно формулировать необходимые определения.
Кроме вопросов экзаменационного билета, абитуриенту задавались дополнительные задания или задавались примерно такие вопросы.
- Построить график функции:
$y=\lg x$; $y=-x^2-x$; $y=\dfrac2x-3$; $y=\sin2x$; $y=\cos\dfrac x2.$
- Решить уравнение:
$2^x=-1$; $|2x-3|=1$; $\cos2x=-\dfrac12$; $\arcsin x=x$.
- Решить неравенство:
$\lg x\gt0$; $x^2\gt5$; $\dfrac6{x-2}\lt0$; $|x-2|\ge1$.
- Какой знак имеют числа $$\sin3{,}14;\quad\cos\dfrac{9\pi}{10};\quad\sin2?$$
- Найти
$\sin\left(2\arcsin\dfrac13\right)$. - Найти период функции
$y=\sin3x$. - Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
- Привести пример двух несоизмеримых отрезков.
- Могут ли стороны треугольника относиться как
$1:2:3$? - Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
- При каком условии в прямой круговой цилиндр можно вписать шар?
- Найти угол между диагональю куба и плоскостью его основания.
Наиболее слабые знания абитуриенты обнаружили по следующим вопросам школьной программы: обобщение понятия о показателе степени, комплексные числа, числовые последовательности, бесконечная геометрическая прогрессия, метод математической индукции, объёмы и поверхности тел. Не все абитуриенты давали чёткие определения тригонометрических функций, длины окружности, площади круга, объёма и поверхности цилиндра и конуса.
Недостаточно хорошо владеют понятиями: иррациональное и действительное число, абсолютная величина числа, соизмеримые и несоизмеримые отрезки, радианная мера углов.
В геометрии неуверенно решают задачи на построение. Многие абитуриенты имеют недостаточно развитое пространственное воображение.
Поступавшие неуверенно решали задачи на построение как на плоскости, так и в пространстве. Особенно заметно у подавляющей части абитуриентов неглубокое и неполное знакомство с понятием функции. Многие с трудом приводили примеры функциональных зависимостей, мало кто обнаружил хорошее понимание и использование свойств монотонности и периодичности функций.
И наконец, о понятии предела. Это важнейшее понятие усвоено в большинстве случаев поверхностно. А о применении предела и говорить не приходится. Таким образом, разделы школьного курса математики, связанные с понятием предела, усвоены недостаточно.
Вместе с тем следует отметить и положительные стороны в знаниях школьников по математике.
Лучшим стало владение формально-вычислительным аппаратом в алгебре и тригонометрии, увереннее строили графики различных функций, лучше усвоили логарифмы, более свободно (по сравнению с прошлыми годами) обращались с тригонометрическими уравнениями.
Следует отметить, что число отлично выполненных письменных работ и отличных ответов на устном экзамене по математике возросло по сравнению с предшествующими годами. Радует также и то, что среди отличий много молодежи из сельской местности.
В заключение предлагаем читателям для самостоятельного упражнения один подлинный вариант, и один сборный, составленный из задач различных вариантов, предлагавшихся на экзаменах.
Вариант 1
- В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с периметром
$2p$ и углом$\alpha$ при основании. Определить объём пирамиды, если боковые грани её наклонены к плоскости основания под углом$\beta$. - По окружности радиуса
$R$ равномерно и в одном направлении движутся два автомобиля. Один из них делает полный круг на$t$ секунд быстрее второго. Время между двумя последовательными встречами автомобилей равно$a$. Определить скорости обоих автомобилей. - При каких действительных неотрицательных значениях
$a$ уравнение $$ a+x-x^2=\sqrt{a+x}+x $$ имеет действительные неотрицательные корни? Найти эти корни. - Решить уравнение $$ (1+\sin2x)(\cos x-\sin x)=1-2\sin^2x. $$
Вариант 2 (сборный)
- Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольный
треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр, опущенный из вершины прямого
угла на гипотенузу, имеет длину
$h$ и составляет с одним из катетов угол$\alpha$. Найти объём призмы. - От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих
соответственно
$m$ кг и$n$ кг, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков? - Решить неравенство $$ \log_{0{,}5}x+\sqrt{1-4(\log_{0{,}5}x)^2}\lt1. $$
- Решить уравнение $$ \dfrac{\cos x}{\ctg^2\dfrac x2-\ctg^2\dfrac x2}= \dfrac18\left(1-\dfrac{2\ctg x}{1+\ctg^2x}\right). $$
Ответы, указания, решения
Вариант 1
$V=\dfrac{p^3\cos^2\alpha\tg^2\dfrac\alpha2\tg\beta}{12\cos^4\dfrac\alpha2}$. - Составленное уравнение
$$
v_1^2-\dfrac{2\pi R}av_1-\dfrac{(2\pi R)^2}{at}=0;
$$
его решение:
$v_1=\dfrac{\pi R}a\left(\sqrt{1+\dfrac{4a}t}+1\right)$ — скорость первого автомобиля,$v_2=\dfrac{\pi R}a\left(\sqrt{1+\dfrac{4a}t}-1\right)$ — скорость второго автомобиля. Второй корень не удовлетворяет условиям задачи. - Если
$a=0$, то$x=0$; если$a\gt1$, то$x=\dfrac{-1+\sqrt{4a-3}}2$; если$0\lt a\lt1$, то корней нет. $x=\dfrac\pi4+\dfrac{\pi k}2$; $x=2\pi k$, $x=\dfrac\pi2+2\pi k$ ($k=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$).
Вариант 2
$V=\dfrac{h^3}{\sqrt2\sin2\alpha\cos\dfrac\alpha2\cos\left(\dfrac\pi4- \dfrac\alpha2\right)}$. Составленное уравнение $$ \dfrac{a(m-x)+bx}m=\dfrac{b(n-x)+ax}n, $$ где
$a$, $b$ — количества меди в 1 кг соответственно в 1-м и 2-м кусках.После исключения
$a$ и$b$ из уравнения получим $$ \begin{gather*} (m+n)(b-a)x=(b-a)mn,\quad b\gt a,\\ x=\dfrac{mn}{m+n}. \end{gather*} $$$1\lt x\le\sqrt1$, $\dfrac1{\sqrt2}\le x\lt\dfrac1{\sqrt[5]4}$. $x=\dfrac\pi8+\dfrac{\pi k}2$, ($k=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$).