Текст статьи Дорофеев Г. В. Вступительные экзамены по математике на математическом факультете Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина // Квант. — 1970. — № 3. — С. 48—52.
Много этажей высотного здания современной математики должен пройти студент педагогического института, чтобы стать хорошим, знающим своё дело учителем. Но преодолеть узкие и крутые лестницы этого здания, начисто лишённого лифтов, может лишь тот, кто уже в школе надёжно закрепился на его фундаменте.
Такие абитуриенты есть, и их достаточно много. Это большей частью те, которые уже поняли всю привлекательность математики, оценили её важность и значение для современной жизни. Но, гордые своими математическими успехами, многие (и, к сожалению, слишком многие) решают, что их единственное назначение в жизни — стать профессиональными математиками или физиками.
Между тем специалисты, отлично владеющие математикой, нужны сейчас практически во всех областях жизни. И для их подготовки нужны толковые, знающие своё дело учителя. В свою очередь квалификация самих учителей зависит от математической грамотности тех, кто поступает в педагогические институты, от их заинтересованности в своей будущей профессии, любви к ней.
В прошлом году на математический факультет МГПИ им. В. И. Ленина было подано 475 заявлений на 175 мест — около 2,7 заявления на место. Для сравнения отметим, что значительно больше было число желающих стать учителями-нематематиками и математиками-неучителями: например, на факультете русского языка и литературы нашего института было 8,3 заявления на место, а на механико-математическом факультете МГУ — 6.
На письменном экзамене в 1969 году поступающим было предложено несколько вариантов, каждый из которых содержал 5 задач. На всю работу давалось 4 часа. «Зачёт», однако, проводился не по всем задачам, а по четырём, лучше всего решённым.
Задачи при этом были подобраны так, что любитель геометрии, не желающий возиться с какими-нибудь формальными выкладками, мог получить пятёрку, однако для доказательства своего «права» пренебрегать техникой преобразований — это ведь тоже одна из составных частей математического искусства — он должен был преодолеть особые геометрические трудности. Точно так же «алгебраист» или «аналитик», недолюбливающий геометрию, мог избавить себя от необходимости разобраться в относительно сложной геометрической конфигурации, но «в отместку» был обязан решить нестандартную задачу формального характера.
Для получения оценки «З» достаточно было решить две задачи. Несмотря на этот не очень сильный критерий, число двоек оказалось внушительным — 224. Некоторые неудачные работы написаны, к сожалению, медалистами и выпускниками математических школ, в том числе и московских.
Но особенно неприятно то, что большинство плохих работ содержит ошибки, которые нельзя назвать иначе, чем безобразными. Фантазия авторов таких работ слишком велика, чтобы можно было перечислить все эти «жемчужины». Однако упомянем всё же одну, удивившую даже видавших виды экзаменаторов: в одной из работ на чертеже к задаче, где речь шла об общей хорде двух окружностей, эти окружности (разные!) имели ещё и общую дугу, а вне этой дуги спокойно расходились в разные стороны.
Всё это означает, что ещё далеко не все поступающие в вузы знают математику даже на элементарном уровне; многие из них имеют существенные пробелы в математическом образовании. И дело не столько в широте, сколько в глубине знаний, в сознательности владения материалом, в умении мыслить конкретно, нешаблонно.
Приведём примерный вариант, предлагавшийся в 1969 году. Это — не один из подлинных вариантов, а «сборный»: он составлен из задач различных вариантов. После него приведён разбор задач этого варианта, содержащий их решение и указания на типичные ошибки поступающих.
Вариант
Решить уравнение $$ \sqrt{-1-\log_x2x^2}\cdot\log_{2x^4}x=-1. $$
Решить неравенство $$ 2\cos x\,(\cos x-\sqrt8\tg x)\lt5. $$
Прямоугольник
$ABCD$ со сторонами$a$ и$2a$ лежит в основании пирамиды, все боковые рёбра которой равны$\sqrt3$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания$BD$ параллельно ребру$AS$. Через конец
$A$ общей хорды$AB$ двух окружностей проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке$C$, а вторую — в точке$D$. Доказать, что точка пересечения касательных, проведённых через точку$C$ к первой окружности и через точку$D$ ко второй окружности, лежит на одной окружности с точками$B$, $C$ и$D$. Доказать, что если $$ 3x^2-31x+80\lt0, $$ то $$ \cos\dfrac{3}{6-x}\lt0. $$
Решения
Задача 1. Поскольку
$$
\log_x2x^2=2+\log_x2
$$
и $$
\log_{2x^4}x=\dfrac{1}{\log_x2x^4}=-\dfrac{1}{4+\log_x2},
$$
заданное уравнение приводится к виду
$$\sqrt{-3-\log_x2}=-4-\log_x2.
$$
Обозначив
Удивительно, но решение даже такого простого уравнения оказалось не под силу многим поступающим. Все догадываются возвести обе его части в квадрат и получить квадратное уравнение с корнями
Однако совершенно очевидно, что поскольку левая часть в уравнении
Подчеркнём: при решении мы полностью обошлись без нахождения ОДЗ исходного уравнения. Между тем в последнее время среди абитуриентов широко распространился предрассудок, что решение любого уравнения или неравенства нужно обязательно начинать с вычисления ОДЗ. Такое мнение, однако, не имеет никаких теоретических оснований, а на практике оказывает плохую услугу: те, кто пошёл по этому пути, должны были решать не только данное уравнение, но и придуманное ими самими логарифмическое неравенство
Задача 2. Данное неравенство мы не будем решать подробно. Раскрыв скобки, мы легко придём к квадратному неравенству относительно
Задача 3. Оказалась слишком «коварной» для тех абитуриентов, кто привык решать задачи только на правильные геометрические тела. Они не смогли отказаться от шаблонов и ошибочно представляли себе данную геометрическую конфигурацию. Так, очень многие считали «по привычке», что высотой в
Но ведь каждому известно, что геометрическое воображение является лишь вспомогательным средством решения задач, и факты, «увиденные» на чертеже, требуется ещё строго доказать, Но, к сожалению, многие знают это чисто абстрактно, а на практике доказательствами пренебрегают, ограничиваясь иногда фразами типа «это верно по теореме о трёх перпендикулярах» даже в случаях, когда совершенно неясно, о каких перпендикулярах идёт речь.
Между тем малейшая попытка доказать перпендикулярность
А для правильного построения высоты в
Задача 4. Среди предложенных задач по планиметрии эта оказалась для поступающих одной из наиболее трудных: из 93 решавших соответствующий вариант полностью её решило только З человека. Между тем она имеет очень простое и, главное, совершенно естественное решение в духе замечательной книжки Д. Пойа «Как решить задачу».
Действительно, что значит, что точка
Какие же теоремы о равенстве углов могут прийти в голову в связи с данной задачей? Только теоремы об углах между касательной и хордой и вписанных углах. На основании этих теорем равны углы, отмеченные одинаково на рисунке 2. А теперь нельзя не сообразить, что сумма противоположных углов четырёхугольника
Неудачи большинства решавших эту задачу объясняются, видимо, просто тем, что школьники 9-х и 10-х классов в значительной степени забывают самые простые планиметрические теоремы и не стараются восполнить этот пробел в процессе непосредственной подготовки к экзаменам. Вполне вероятно, что выпускники 8-х классов с бóльшим успехом справились бы с этой задачей, чем умудрённые обширными познаниями абитуриенты.
Задача 5. Задачи этого типа оказались средней трудности, и бóльшая часть взявшихся за их решение более или менее правильно довела его до конца. Надо сказать, однако, что очень многие за эту задачу и не брались, хотя она проще других. Здесь, по-видимому, проявляется всё та же «психологическая неподготовленность» к необычной форме задачи, хотя в последнее время в литературе для школьников таких задач рассматривается достаточно много.
Вот решение этой задачи: если
Итак, мы представили решения наших задач, в какой-то степени трудных, в какой-то степени лёгких. Вы можете оценить их трудность, а заодно и свою силу, решив задачи из двух нижеследующих вариантов.
Варианты
I
Решить уравнение $$ \log_{x+3}\left(3-\sqrt{1-2x+x^2}\right)=\dfrac12. $$
Решить неравенство $$ 6\sin^2\dfrac{x}{2}\ctg^2x\le2\cos^2x+3\ctg^2x. $$
В основании пирамиды
$SABC$ лежит$\triangle ABC$ с углом$C=90^\circ$ и острым углом$30^\circ$. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом$45^\circ$, высота пирамиды равна$H$. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку$C$ параллельно$AB$ и делящей грань$ASB$ на части равной площади.Доказать, что если прямая, соединяющая противоположные вершины вписанного четырёхугольника, проходит через точку пересечения касательных, проведённых в двух других его вершинах, то произведения противоположных сторон равны.
Доказать, что если
$\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-11x+30}<0$, то$\sin x$ и$\cos x$ имеют разные знаки.
(МГПИ им. В. И. Ленина)
II
В правильной треугольной пирамиде со стороной основания, равной
$a$, углы между рёбрами при её вершине равны$\alpha$ ($\alpha\le90^\circ$). Определить площадь сечения, проведённого через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру.Решить уравнение $$ \lg^2x+\lg^2(x+10)=2\lg11. $$
Решить уравнение$$ \sin3x\cdot\sin x+1=0. $$
(Ивановский пединститут)
Ответы, указания, решения
Вариант I
$x_1=\dfrac{9-\sqrt{29}}{2}$, $x_2=\dfrac{-3+\sqrt5}{2}$; $2k\pi\lt x\le2k\pi+\dfrac{2\pi}{3}$; $-\dfrac{2\pi}{3}+2l\pi\le x\lt2l\pi$; $H^2\left(1-\dfrac{\sqrt2}{4}\right)$.
Вариант II
$\dfrac{a^2}{4}\sqrt{4\cos^2\dfrac{\alpha}{2}-1}$; $x_1=-11$, $x_2=1$, $x_3=-5+\sqrt{14}$, $x_4=-5-\sqrt{14}$; $x=\dfrac{2k+1}{2}\,\pi$.